Uma partícula se desloca ao longo da curva r = 3^(theta/4). Calcule a distância percorrida pela partícula para 0 <= theta <= 2 pi. ( ) SIM ( ) NÃO

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma partícula está se movendo ao longo da curva definida por e pede para calcularmos a distância percorrida por ela quando o ângulo varia de a . Vamos resolver isso usando o conceito de comprimento de arco em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber qual fórmula usar para calcular a distância percorrida ao longo de uma curva em coordenadas polares. A fórmula para o comprimento de arco de uma curva de até é:
Aqui, é a derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos identificar as partes que precisamos:
  • Intervalo de : de a
Primeiro, precisamos calcular . Como , podemos reescrever isso usando logaritmos para facilitar a derivada.

Passo 4

Para derivar , usamos a regra da derivada de uma função exponencial com base diferente de :
Então:

Passo 5

Agora, vamos substituir e na fórmula do comprimento de arco:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Portanto:

Passo 7

Vamos calcular o termo constante fora da integral:

Passo 8

Substituindo de volta na integral:

Passo 9

Agora, vamos integrar em relação a :
Aplicando os limites de a :

Passo 10

Substituindo de volta na expressão para :

Passo 11

Podemos simplificar ainda mais se quisermos um valor numérico. Calculando os valores:
Então:

Resposta

A distância percorrida pela partícula é aproximadamente 15,81 unidades.

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