Uma partícula se desloca ao longo da curva
. Calcule a distância percorrida pela partícula para
. ( ) SIM ( ) NÃO
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma partícula está se movendo ao longo da curva definida por
e pede para calcularmos a distância percorrida por ela quando o ângulo
varia de
a
. Vamos resolver isso usando o conceito de comprimento de arco em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber qual fórmula usar para calcular a distância percorrida ao longo de uma curva em coordenadas polares. A fórmula para o comprimento de arco
de uma curva
de
até
é:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos identificar as partes que precisamos:
-
- Intervalo de
: de a
Primeiro, precisamos calcular
. Como
, podemos reescrever isso usando logaritmos para facilitar a derivada.
Passo 4
Para derivar
, usamos a regra da derivada de uma função exponencial com base diferente de
:
Então:
Passo 5
Agora, vamos substituir
e
na fórmula do comprimento de arco:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Portanto:
Passo 7
Vamos calcular o termo constante fora da integral:
Passo 8
Substituindo de volta na integral:
Passo 9
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 10
Substituindo de volta na expressão para
:
Passo 11
Podemos simplificar ainda mais se quisermos um valor numérico. Calculando os valores:
Então:
Resposta
A distância percorrida pela partícula é aproximadamente 15,81 unidades.