Calcule e justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando
se aproxima de
da expressão
. Isso envolve o conteúdo de limites na matéria de Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões algébricas e aplicar propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, observe que se substituirmos
por
diretamente na expressão, o denominador se torna zero, o que nos dá uma indeterminação do tipo
. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para eliminar essa indeterminação.
Passo 3
Vamos focar no numerador:
. Queremos fatorar essa expressão para que possamos simplificar com o denominador
. Uma maneira de fazer isso é reescrever
como
.
Passo 4
Usando a identidade algébrica para a soma de quadrados, podemos fatorar
. Contudo, nesse caso, melhor utilizamos a fatoração de polinômios:
Mas temos
, então precisamos ajustar a fatoração.
Passo 5
Na verdade,
pode ser fatorado como
para facilitar a simplificação com o denominador. No entanto, uma abordagem mais direta é usar a regra de L’Hôpital, já que temos uma indeterminação
.
Passo 6
Aplicando a Regra de L’Hôpital, que nos diz que se
ou
, então podemos calcular
.
Passo 7
Vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Passo 8
Agora, aplicando a regra:
Resposta
O limite é
.
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.
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.
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