Calcule e justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de da expressão . Isso envolve o conteúdo de limites na matéria de Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões algébricas e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, observe que se substituirmos por diretamente na expressão, o denominador se torna zero, o que nos dá uma indeterminação do tipo . Isso significa que precisamos simplificar a expressão para eliminar essa indeterminação.

Passo 3

Vamos focar no numerador: . Queremos fatorar essa expressão para que possamos simplificar com o denominador . Uma maneira de fazer isso é reescrever como .

Passo 4

Usando a identidade algébrica para a soma de quadrados, podemos fatorar . Contudo, nesse caso, melhor utilizamos a fatoração de polinômios:
Mas temos , então precisamos ajustar a fatoração.

Passo 5

Na verdade, pode ser fatorado como para facilitar a simplificação com o denominador. No entanto, uma abordagem mais direta é usar a regra de L’Hôpital, já que temos uma indeterminação .

Passo 6

Aplicando a Regra de L’Hôpital, que nos diz que se ou , então podemos calcular .

Passo 7

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .

Passo 8

Agora, aplicando a regra:

Resposta

O limite é .

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