Determine o aumento real e o aproximado do volume de um tanque cilíndrico quando seu raio da base aumenta de 2 m para 2,15 m e sua altura aumenta de 8 m para .

Passo 1

Então, a gente tem um tanque que é cilíndrico, ou seja, tem uma base redonda e uma altura. O enunciado pede para a gente descobrir quanto o volume desse tanque vai aumentar quando o raio da base passa de 2 metros para 2,15 metros e a altura de 8 metros para 8,3 metros. Vamos precisar usar a fórmula do volume de um cilindro e entender como pequenas mudanças nas dimensões afetam o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o volume de um cilindro. O volume de um cilindro é dado por:
onde é o raio da base e é a altura.

Passo 3

Agora, vamos calcular o volume inicial do tanque antes das alterações. O raio inicial é 2 metros e a altura inicial é 8 metros. Substituindo na fórmula:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o volume final do tanque após o aumento das dimensões. O novo raio é 2,15 metros e a nova altura é 8,3 metros. Substituindo na fórmula:

Passo 5

Agora, vamos determinar o aumento real no volume. Para isso, subtraímos o volume inicial do volume final:
Se quisermos um valor aproximado, considerando :

Passo 6

Além disso, podemos calcular o aumento aproximado usando derivadas, considerando pequenas variações em e . A variação no volume pode ser aproximada por:
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo , , e :
Convertendo para número:

Resposta

O aumento real do volume do tanque é aproximadamente e o aumento aproximado usando derivadas é cerca de .

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