Determine o aumento real e o aproximado do volume de um tanque cilíndrico quando seu raio da base aumenta de 2 m para 2,15 m e sua altura aumenta de 8 m para
.
Passo 1
Então, a gente tem um tanque que é cilíndrico, ou seja, tem uma base redonda e uma altura. O enunciado pede para a gente descobrir quanto o volume desse tanque vai aumentar quando o raio da base passa de 2 metros para 2,15 metros e a altura de 8 metros para 8,3 metros. Vamos precisar usar a fórmula do volume de um cilindro e entender como pequenas mudanças nas dimensões afetam o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o volume de um cilindro. O volume
de um cilindro é dado por:
onde
é o raio da base e
é a altura.
Passo 3
Agora, vamos calcular o volume inicial do tanque antes das alterações. O raio inicial é 2 metros e a altura inicial é 8 metros. Substituindo na fórmula:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o volume final do tanque após o aumento das dimensões. O novo raio é 2,15 metros e a nova altura é 8,3 metros. Substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos determinar o aumento real no volume. Para isso, subtraímos o volume inicial do volume final:
Se quisermos um valor aproximado, considerando
:
Passo 6
Além disso, podemos calcular o aumento aproximado usando derivadas, considerando pequenas variações em
e
. A variação no volume
pode ser aproximada por:
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo
,
,
e
:
Convertendo para número:
Resposta
O aumento real do volume do tanque é aproximadamente
e o aumento aproximado usando derivadas é cerca de
.
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Mostre que a função
é solução da equação diferencial
.
Calcule e justifique.
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) é dada por
. Se um crustáceo está no ponto
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