A concentração de sal em um determinado fluido no ponto ( ) é dada por . Se um crustáceo está no ponto em que direção deve seguir para que a concentração cresça mais rapidamente?

Passo 1

Vamos lá! Você tem uma função que representa a concentração de sal em um ponto no espaço: . O exercício pede para descobrir em qual direção um crustáceo precisa se mover a partir do ponto para que a concentração de sal aumente o mais rápido possível. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente da função, que nos dá a direção de maior crescimento da função em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis: , e . Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

E finalmente, a derivada parcial de em relação a :

Passo 6

Agora que temos todas as derivadas parciais, o gradiente da função é:

Passo 7

Vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 8

Calculando cada componente:
Então,

Passo 9

A direção de maior aumento é a direção do gradiente. Para obter um vetor direcional unitário, vamos normalizar o gradiente. Primeiro, calculamos a magnitude do vetor:

Passo 10

Agora, dividimos cada componente do gradiente pela sua magnitude para obter a direção:
çã

Resposta

O crustáceo deve seguir na direção aproximadamente para que a concentração de sal cresça mais rapidamente no ponto .

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