A concentração de sal em um determinado fluido no ponto (
) é dada por
. Se um crustáceo está no ponto
em que direção deve seguir para que a concentração cresça mais rapidamente?
Passo 1
Vamos lá! Você tem uma função que representa a concentração de sal em um ponto no espaço:
. O exercício pede para descobrir em qual direção um crustáceo precisa se mover a partir do ponto
para que a concentração de sal aumente o mais rápido possível. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente da função, que nos dá a direção de maior crescimento da função em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis:
,
e
. Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
E finalmente, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 6
Agora que temos todas as derivadas parciais, o gradiente da função
é:
Passo 7
Vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 8
Calculando cada componente:
Então,
Passo 9
A direção de maior aumento é a direção do gradiente. Para obter um vetor direcional unitário, vamos normalizar o gradiente. Primeiro, calculamos a magnitude do vetor:
Passo 10
Agora, dividimos cada componente do gradiente pela sua magnitude para obter a direção:
Resposta
O crustáceo deve seguir na direção aproximadamente
para que a concentração de sal cresça mais rapidamente no ponto
.
Exercícios relacionados
Calcule e justifique.
Determine o aumento real e o aproximado do volume de um tanque cilíndrico quando seu raio da base aumenta de 2 m para 2,15 m e sua altura aumenta de 8 m para
.
Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela das funções abaixo:
Se o polinômio
admite três raízes reais distintas, então uma das possibilidades é que elas sejam 1, -1 e 3.