Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, onde a gente analisa funções de mais de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os pontos críticos da função, ou seja, onde as derivadas parciais são zero, e depois usar o teste da segunda derivada para classificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, resolver o sistema onde
e
.
Primeiro, da equação
:
Então, ou
ou
.
Segundo, da equação
:
Passo 4
Vamos analisar os casos:
Caso 1:
Substituindo
na equação de
:
Então,
.
Portanto, temos o ponto crítico
.
Caso 2:
E sabemos que
.
Substituindo
na equação:
Essa é uma equação cúbica em
. Vamos tentar encontrar soluções reais.
Passo 5
Testando possíveis valores de
, por inspeção:
Para
:
Para
:
Para
:
Parece que não há soluções reais fáceis de encontrar além de
. Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 6
Agora, para classificar o ponto crítico
, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segunda derivadas:
No ponto
:
Calculamos o discriminante
:
Passo 7
Analisando o discriminante
e
, isso indica que o ponto
é um máximo local.
Não encontramos outros pontos críticos, então não há mínimos locais ou pontos de sela.
Resposta
O único ponto crítico encontrado é
, que é um m��ximo local da função.
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