Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela das funções abaixo:
f(x, y) = 10 x^2 y - 5 x^2
4y^2 - x^4 - 2y^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, onde a gente analisa funções de mais de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os pontos críticos da função, ou seja, onde as derivadas parciais são zero, e depois usar o teste da segunda derivada para classificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, resolver o sistema onde e .
Primeiro, da equação :
Então, ou ou .
Segundo, da equação :

Passo 4

Vamos analisar os casos:
Caso 1:
Substituindo na equação de :
Então, .
Portanto, temos o ponto crítico .
Caso 2:
E sabemos que .
Substituindo na equação:
Essa é uma equação cúbica em . Vamos tentar encontrar soluções reais.

Passo 5

Testando possíveis valores de , por inspeção:
Para :
Para :
Para :
Parece que não há soluções reais fáceis de encontrar além de . Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 6

Agora, para classificar o ponto crítico , vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segunda derivadas:
No ponto :
Calculamos o discriminante :

Passo 7

Analisando o discriminante e , isso indica que o ponto é um máximo local.
Não encontramos outros pontos críticos, então não há mínimos locais ou pontos de sela.

Resposta

O único ponto crítico encontrado é , que é um m��ximo local da função.

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