Nos problemas 4)-8), use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Transformada de Laplace para resolver uma equação integral. A equação que temos é:
f^prime(t) - integral0^t (cos tau) f(t - tau) dtau = 1, f(0) = 2
Aqui, vamos precisar saber como transformar derivadas e integrais usando a Transformada de Laplace. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembra que a Transformada de Laplace de uma derivada Lf'(t) = sF(s) - f(0) é:
onde é a Transformada de Laplace de , e é o valor inicial dado, que aqui é 2.

Passo 3

Agora, vamos transformar a integral. A integral que temos é uma convolução:
integral0^t cos tau , f(t - tau) dtau
A propriedade da Transformada de Laplace para convolução diz que:
Lintegral0^t cos tau , f(t - tau) dtau = Lcos t cdot Lf(t)
Sabemos que:
Lcos t = ss^2 + 1
Então, a Transformada da convolução fica:
ss^2 + 1 F(s)

Passo 4

Vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação original:
Lf'(t) - Lintegral0^t cos tau , f(t - tau) dtau = L1
Substituindo o que já encontramos:
sF(s) - 2 - ss^2 + 1 F(s) = 1s

Passo 5

Agora, vamos organizar essa equação para resolver (s - ss^2 + 1) F(s) = 1s + 2 . Vamos fatorar s - ss^2 + 1 = s(s^2 + 1) - ss^2 + 1 = s^3s^2 + 1 :
s^3s^2 + 1 F(s) = 1s + 2
Para simplificar o lado esquerdo, vamos combinar os termos:
Então, a equação fica:

Passo 6

Vamos agora isolar F(s) = (1s + 2) cdot s^2 + 1s^3 :
F(s) = 1s cdot s^2 + 1s^3 + 2 cdot s^2 + 1s^3
Vamos distribuir os termos:
F(s) = s^2 + 1s^4 + 2(s^2 + 1)s^3
Simplificando cada fração:
F(s) = 1s^2 + 1s^4 + 2s + 2s^3
Que pode ser escrito como:

Passo 7

Agora, fazemos a Transformada de Laplace inversa para encontrar L^-11s^n = t^n-1(n-1)! . Sabemos que:
f(t) = 2 cdot 1 + t + 2 cdot t^22 + t^36
Aplicando isso:
  • f(t) = 2 + t + t^2 + t^36 vira 1
  • vira
  • vira
  • vira
Então:
Simplificando:

Resposta

A solução da equação é:
f(t) = 2 + t + t^2 + t^36

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