Nos problemas 4)-8), use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Transformada de Laplace para resolver uma equação integral. A equação que temos é:
Aqui, vamos precisar saber como transformar derivadas e integrais usando a Transformada de Laplace. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembra que a Transformada de Laplace de uma derivada é:
onde é a Transformada de Laplace de , e é o valor inicial dado, que aqui é 2.

Passo 3

Agora, vamos transformar a integral. A integral que temos é uma convolução:
A propriedade da Transformada de Laplace para convolução diz que:
Sabemos que:
Então, a Transformada da convolução fica:

Passo 4

Vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação original:
Substituindo o que já encontramos:

Passo 5

Agora, vamos organizar essa equação para resolver . Vamos fatorar :
Para simplificar o lado esquerdo, vamos combinar os termos:
Então, a equação fica:

Passo 6

Vamos agora isolar :
Vamos distribuir os termos:
Simplificando cada fração:
Que pode ser escrito como:

Passo 7

Agora, fazemos a Transformada de Laplace inversa para encontrar . Sabemos que:
Aplicando isso:
  • vira 1
  • vira
  • vira
  • vira
Então:
Simplificando:

Resposta

A solução da equação é:

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Usando a Definição de contiunidade: uma função é contínua em , se, e somente se duas condições se verificam: (i) Existência do limite de em : ou seja, , digamos
É correto que: é ponto crítico. Considere a função .
Considera a função . É correto que:
é ponto de sela.
Calcule e justifique.