Nos problemas 4)-8), use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Transformada de Laplace para resolver uma equação integral. A equação que temos é:
Aqui, vamos precisar saber como transformar derivadas e integrais usando a Transformada de Laplace. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembra que a Transformada de Laplace de uma derivada
é:
onde
é a Transformada de Laplace de
, e
é o valor inicial dado, que aqui é 2.
Passo 3
Agora, vamos transformar a integral. A integral que temos é uma convolução:
A propriedade da Transformada de Laplace para convolução diz que:
Sabemos que:
Então, a Transformada da convolução fica:
Passo 4
Vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação original:
Substituindo o que já encontramos:
Passo 5
Agora, vamos organizar essa equação para resolver
. Vamos fatorar
:
Para simplificar o lado esquerdo, vamos combinar os termos:
Então, a equação fica:
Passo 6
Vamos agora isolar
:
Vamos distribuir os termos:
Simplificando cada fração:
Que pode ser escrito como:
Passo 7
Agora, fazemos a Transformada de Laplace inversa para encontrar
. Sabemos que:
Aplicando isso:
-
vira 1 -
vira -
vira -
vira
Então:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação é:
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Usando a Definição de contiunidade: uma função
é contínua em
, se, e somente se duas condições se verificam: (i) Existência do limite de
em
: ou seja,
, digamos
É correto que:
é ponto crítico. Considere a função
.
Considera a função
. É correto que:
é ponto de sela.
Calcule e justifique.