Calcule e justifique.

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício envolve limites e funções racionais. Para resolvê-lo, precisamos saber como simplificar expressões que resultam em uma indeterminação do tipo quando substituímos o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na expressão para ver se conseguimos calcular o limite:
Vemos que obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para racionalizar expressões envolvendo raízes é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de é . Vamos multiplicar a fração por :

Passo 4

Vamos simplificar o numerador usando a identidade :
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos cancelar o termo no numerador e denominador. A nova expressão para o limite é:

Passo 6

Agora, substituímos na expressão simplificada:
Isso nos indica que o limite tende ao infinito. Como o denominador se aproxima de zero pelo lado positivo (porque se aproxima de 0 pelo lado positivo quando se aproxima de 1), o limite é .

Resposta

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