Calcule e justifique.
lim x 1 -raizx-1x-1

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício envolve limites e funções racionais. Para resolvê-lo, precisamos saber como simplificar expressões que resultam em uma indeterminação do tipo quando substituímos o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir -raiz1-11-1 = -1-10 = -20 diretamente na expressão para ver se conseguimos calcular o limite:
Vemos que obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para racionalizar expressões envolvendo raízes é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de -raizx-1x-1 times -raizx + 1-raizx + 1 = (-raizx-1)(-raizx+1)(x-1)(-raizx+1) é . Vamos multiplicar a fração por :

Passo 4

Vamos simplificar o numerador usando a identidade (-raizx)^2 - (1)^2 = x - 1 :
x - 1(x - 1)(-raizx + 1) = 1-raizx + 1
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos cancelar o termo lim x 1 1-raizx + 1 no numerador e denominador. A nova expressão para o limite é:

Passo 6

Agora, substituímos 1-raiz1 + 1 = 1-1 + 1 = 10 na expressão simplificada:
Isso nos indica que o limite tende ao infinito. Como o denominador se aproxima de zero pelo lado positivo (porque se aproxima de 0 pelo lado positivo quando se aproxima de 1), o limite é .

Resposta

lim x 1 -raizx-1x-1 = +infty

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