Jdem os exemplos fona os cases:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente dar exemplos para os casos da função
. Isso significa que vamos analisar diferentes aspectos dessa função, como domínio, imagem, comportamento, assíntotas, entre outros. Para resolver, vamos precisar entender conceitos básicos de funções, como domínio, intervalo de variação e limites.
Passo 2
Dominio da Função
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função, que é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando para
, percebemos que
está no denominador. Não podemos dividir por zero, então precisamos que
. Isso significa que
.
Dominio:
Passo 3
Imagem da Função
Agora, vamos encontrar a imagem da função, que são todos os valores que
pode assumir. Como
é sempre positivo (exceto quando
, que já excluímos),
também será sempre positivo. Além disso, quanto maior o valor de
, menor será
, aproximando-se de 0. Quando
se aproxima de 0,
cresce sem limite.
Imagem:
, ou seja,
Passo 4
Assíntotas
Vamos investigar as assíntotas da função, que são linhas que a função se aproxima mas nunca toca.
- Assíntota Vertical: Como
não pode ser 0, temos uma assíntota vertical em . - Assíntota Horizontal: Quando
tende para ou , tende para 0. Assim, temos uma assíntota horizontal em .
Passo 5
Comportamento da Função
Vamos observar como
se comporta em diferentes intervalos:
- Para
: Conforme aumenta, diminui, aproximando-se de 0. - Para
: O comportamento é similar, já que o quadrado de é positivo, então também diminui conforme aumenta.
A função é simétrica em relação ao eixo
porque
.
Passo 6
Gráfico da Função
Para melhor visualizar, vamos esboçar o gráfico:
- Desenhamos uma assíntota vertical em
e uma horizontal em . - A função possui duas branches: uma no lado direito de
e outra no lado esquerdo. - Ambas as branches se aproximam das assíntotas conforme
aumenta ou diminui.
Resposta
Analisando a função
, concluímos que:
- Domínio:
- Imagem:
- Assíntotas: Vertical em
e horizontal em - Comportamento: A função é simétrica em relação ao eixo
, e suas branches diminuem em direção à assíntota horizontal conforme aumenta.
Exercícios relacionados
Calcule e justifique.
Racionalize o denominador das expressões seguintes:
(1) Jdem os exemplos fona os cases:
:
Considere a função
cujo gráfico está representado abaixo. Determine o que se pede.
(a) Os limites
e
.