Jdem os exemplos fona os cases:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente dar exemplos para os casos da função . Isso significa que vamos analisar diferentes aspectos dessa função, como domínio, imagem, comportamento, assíntotas, entre outros. Para resolver, vamos precisar entender conceitos básicos de funções, como domínio, intervalo de variação e limites.

Passo 2

Dominio da Função
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função, que é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para , percebemos que está no denominador. Não podemos dividir por zero, então precisamos que . Isso significa que .
Dominio:

Passo 3

Imagem da Função
Agora, vamos encontrar a imagem da função, que são todos os valores que pode assumir. Como é sempre positivo (exceto quando , que já excluímos), também será sempre positivo. Além disso, quanto maior o valor de , menor será , aproximando-se de 0. Quando se aproxima de 0, cresce sem limite.
Imagem: , ou seja,

Passo 4

Assíntotas
Vamos investigar as assíntotas da função, que são linhas que a função se aproxima mas nunca toca.
  1. Assíntota Vertical: Como não pode ser 0, temos uma assíntota vertical em .
  2. Assíntota Horizontal: Quando tende para ou , tende para 0. Assim, temos uma assíntota horizontal em .

Passo 5

Comportamento da Função
Vamos observar como se comporta em diferentes intervalos:
  • Para : Conforme aumenta, diminui, aproximando-se de 0.
  • Para : O comportamento é similar, já que o quadrado de é positivo, então também diminui conforme aumenta.
A função é simétrica em relação ao eixo porque .

Passo 6

Gráfico da Função
Para melhor visualizar, vamos esboçar o gráfico:
  • Desenhamos uma assíntota vertical em e uma horizontal em .
  • A função possui duas branches: uma no lado direito de e outra no lado esquerdo.
  • Ambas as branches se aproximam das assíntotas conforme aumenta ou diminui.

Resposta

Analisando a função , concluímos que:
  • Domínio:
  • Imagem:
  • Assíntotas: Vertical em e horizontal em
  • Comportamento: A função é simétrica em relação ao eixo , e suas branches diminuem em direção à assíntota horizontal conforme aumenta.

Exercícios relacionados

Calcule e justifique.
Racionalize o denominador das expressões seguintes:
(1) Jdem os exemplos fona os cases: :
Considere a função cujo gráfico está representado abaixo. Determine o que se pede.
(a) Os limites e .