Nos problemas a)-e) encontre e desenhe a serie de Fourier de .
a)
no intervalo

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que encontrar e desenhar a série de Fourier da função definida por:
E isso tudo no intervalo . O conteúdo que vamos usar aqui é a Série de Fourier, que nos ajuda a representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier para essa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o período da função. Como a função está definida no intervalo , o período é . A frequência fundamental é dada por:
Então, nossa série de Fourier vai ter termos com múltiplos de .

Passo 3

Agora, vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função no período. A fórmula para é:
Substituindo :

Passo 4

Vamos calcular os coeficientes e . Para funções pares ou ímpares, alguns coeficientes podem ser zero, mas nossa função não é estritamente par nem ímpar. As fórmulas são:
Vamos calcular primeiro:
Integrando:
Sabemos que para todo inteiro , então .
Agora, vamos calcular :
Integrando:
Sabendo que , temos:
Isso significa que será zero para par e para ímpar.

Passo 5

Agora, vamos montar a série de Fourier usando os coeficientes encontrados. A série fica assim:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Como é zero para par, a série pode ser escrita apenas somando os termos ímpares:

Resposta

A série de Fourier da função no intervalo é:

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