Nos problemas a)-e) encontre e desenhe a serie de Fourier de
.
a)
no intervalo
a)
no intervalo
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que encontrar e desenhar a série de Fourier da função
definida por:
E isso tudo no intervalo
. O conteúdo que vamos usar aqui é a Série de Fourier, que nos ajuda a representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier para essa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o período da função. Como a função está definida no intervalo
, o período
é
. A frequência fundamental
é dada por:
Então, nossa série de Fourier vai ter termos com múltiplos de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o coeficiente
, que representa a média da função no período. A fórmula para
é:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos calcular os coeficientes
e
. Para funções pares ou ímpares, alguns coeficientes podem ser zero, mas nossa função não é estritamente par nem ímpar. As fórmulas são:
Vamos calcular
primeiro:
Integrando:
Sabemos que
para todo inteiro
, então
.
Agora, vamos calcular
:
Integrando:
Sabendo que
, temos:
Isso significa que
será zero para
par e
para
ímpar.
Passo 5
Agora, vamos montar a série de Fourier usando os coeficientes encontrados. A série fica assim:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Como
é zero para
par, a série pode ser escrita apenas somando os termos ímpares:
Resposta
A série de Fourier da função
no intervalo
é:
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em que
é a constante gravitacional e
é uma medida meteorológica chamada circulação da velocidade do vento. Se os erros percentuais máximos e mínimos nas mensurações de
e
são de
e
respectivamente, estime o erro percentual máximo no cálculo de
.
Seja R a região anular entre os circulos
e
, calcule
.