Calcule e justifique. Solução do item
: A função
é contínua em
e, portanto,
.
(l)
(l)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando
se aproxima de 3 da função
. Isso está relacionado ao conteúdo de Limites, que é uma parte fundamental do cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e aplicar as propriedades dos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão
. Perceba que o numerador
é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada. A diferença de quadrados tem a fórmula:
Nesse caso,
e
, então podemos reescrever
assim:
Passo 3
Substituindo a fatoração na expressão original, temos:
Agora, podemos simplificar a fração. O termo
está tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelá-los (desde que
, o que é válido no contexto do limite):
Passo 4
Agora que simplificamos a expressão para
, fica muito mais fácil calcular o limite. O limite de
quando
se aproxima de 3 é simplesmente substituir
por 3 na expressão:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
o conjunto dos números complexos
um aberto. Uma função
é dita holomorfa em
, quando existe o limite
para todo
.
(a) (Equações de Cauchy-Riemann) Mostre que se é holomorfa em
, então valem as identidades
(a) (Equações de Cauchy-Riemann) Mostre que se
em todos os pontos de
.
(b) (Teorema de Cauchy) Conclua do item anterior que
(b) (Teorema de Cauchy) Conclua do item anterior que
para todo caminho simples fechado
, que é fronteira de um domínio regular contido em
.
© Use as Equações de Cauchy-Riemann para concluir que se é holomorfa, então
e
são harmônicas, ou seja, vale
. Exiba funções harmônicas de duas variáveis a partir de funções holomorfas.
Sugestão: No item (a), calcule a derivada utilizando caminhos paralelos aos eixos coordenados e compare os resultados. Quanto ao item (b), use as identidades
e aplique o teorema de Green duas vezes. Por fim, no item ©, lembre-se que
.
© Use as Equações de Cauchy-Riemann para concluir que se
Sugestão: No item (a), calcule a derivada
Calcule e justifique. Solução do item
: A função
é contínua em
e, portanto,
.
(a)
(a)
Resolva a EDP a seguir:
(a) , sendo
a bola unitária fechada centrada na origem de
.
(b) .
(a)
(b)
Mostre através de um exemplo que
pode existir sem que
e
existam.