Seja
o conjunto dos números complexos
um aberto. Uma função
é dita holomorfa em
, quando existe o limite
para todo
.
(a) (Equações de Cauchy-Riemann) Mostre que se
é holomorfa em
, então valem as identidades
em todos os pontos de
.
(b) (Teorema de Cauchy) Conclua do item anterior que
para todo caminho simples fechado
, que é fronteira de um domínio regular contido em
.
© Use as Equações de Cauchy-Riemann para concluir que se
é holomorfa, então
e
são harmônicas, ou seja, vale
. Exiba funções harmônicas de duas variáveis a partir de funções holomorfas.
Sugestão: No item (a), calcule a derivada
utilizando caminhos paralelos aos eixos coordenados e compare os resultados. Quanto ao item (b), use as identidades
e aplique o teorema de Green duas vezes. Por fim, no item ©, lembre-se que
.
(a) (Equações de Cauchy-Riemann) Mostre que se
(b) (Teorema de Cauchy) Conclua do item anterior que
© Use as Equações de Cauchy-Riemann para concluir que se
Sugestão: No item (a), calcule a derivada
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão trata de funções holomorfas no conjunto dos números complexos
. Uma função
é chamada de holomorfa em
se ela tiver uma derivada complexa em cada ponto de
. Para resolver os itens (a), (b) e ©, vamos precisar entender as Equações de Cauchy-Riemann, o Teorema de Cauchy e as propriedades das funções harmônicas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Item (a): Equações de Cauchy-Riemann
Queremos mostrar que se
é holomorfa em
, então:
Resolução:
A definição de função holomorfa nos diz que a derivada
existe para todo
. Vamos calcular essa derivada usando caminhos paralelos aos eixos
e
.
- Derivada ao longo do eixo
(mantendo constante):
Substituindo
:
- **Derivada ao longo do eixo
(mantendo constante), usando onde :
Como a derivada deve ser a mesma independentemente do caminho, igualamos as duas expressões:
Comparando as partes reais e imaginárias:
Estas são as Equações de Cauchy-Riemann que queríamos mostrar.
Passo 3
Item (b): Teorema de Cauchy
Precisamos mostrar que:
para todo caminho simples fechado
que é fronteira de um domínio regular contido em
.
Resolução:
Vamos usar as Equações de Cauchy-Riemann que demonstramos no item (a) e aplicar o Teorema de Green.
Primeiro, escrevemos a integral ao longo de
:
Agora, aplicamos o Teorema de Green às duas integrais:
- Parte real:
Usando as Equações de Cauchy-Riemann:
Então:
- Parte imaginária:
Novamente, pelas Equações de Cauchy-Riemann:
Então:
Portanto, ambas as partes da integral são iguais a zero, concluindo que:
Passo 4
Item ©: Funções harmônicas a partir de funções holomorfas
Queremos mostrar que se
é holomorfa, então
e
são funções harmônicas, isto é,
, onde:
E exibir funções harmônicas a partir de funções holomorfas.
Resolução:
Começamos pelas Equações de Cauchy-Riemann:
Vamos calcular o Laplaciano de
:
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
:
Somando as duas derivadas:
Portanto,
. Analogamente, podemos mostrar que
. Logo,
e
são funções harmônicas.
Exemplo de função harmônica a partir de uma holomorfa:
Considere a função holomorfa
.
Aqui, temos:
Calculando os laplacianos:
Portanto, tanto
quanto
são funções harmônicas.
Resposta
Concluímos que as Equações de Cauchy-Riemann são válidas para funções holomorfas, o Teorema de Cauchy garante que integrais de funções holomorfas ao longo de caminhos fechados são zero, e que as partes real e imaginária de funções holomorfas são funções harmônicas.
Exercícios relacionados
Calcule e justifique. Solução do item
: A função
é contínua em
e, portanto,
.
(a)
(a)
Suponha que a região sólida
e a superfície
, orientada pelo campo unitário normal
, satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência. Demonstre que:
(a) , para todo vetor constante
.
(b) o volume de é dado por
(a)
(b) o volume de
sendo
.
© , para toda função suave
.
(d) , para quaisquer funções suaves.
(e) , para quaisquer funções suaves
e
.
Sugestão: No item ©, lembre-se que é a derivada de
na direção de
.
©
(d)
(e)
Sugestão: No item ©, lembre-se que
Calcule e justifique. Solução do item
: A função
é contínua em
e, portanto,
.
(l)
(l)
Resolva a EDP a seguir:
(a) , sendo
a bola unitária fechada centrada na origem de
.
(b) .
(a)
(b)