Seja C o conjunto dos números complexos ^3 Omega subset C um aberto. Uma função f: Omega C é dita holomorfa em Omega, quando existe o limite
f^prime(a)=lim z a f(z)-f(a)z-a
para todo a in Omega.
(a) (Equações de Cauchy-Riemann) Mostre que se f(x+i y)=u(x, y)+i v(x, y) é holomorfa em Omega, então valem as identidades
partial upartial x=partial vpartial y e partial upartial y=-partial vpartial x
em todos os pontos de Omega.
(b) (Teorema de Cauchy) Conclua do item anterior que
ointgamma f(z) d z=0
para todo caminho simples fechado gamma, que é fronteira de um domínio regular contido em Omega.
© Use as Equações de Cauchy-Riemann para concluir que se f=u+i v é holomorfa, então u e v são harmônicas, ou seja, vale De. Exiba funções harmônicas de duas variáveis a partir de funções holomorfas.
Sugestão: No item (a), calcule a derivada f^prime(a) utilizando caminhos paralelos aos eixos coordenados e compare os resultados. Quanto ao item (b), use as identidades ointgamma f(z) d z=ointgamma(u+i v)(d x+i d y)=ointgamma u d x-v d y+i ointgamma(v d x+u d y) e aplique o teorema de Green duas vezes. Por fim, no item ©, lembre-se que De.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão trata de funções holomorfas no conjunto dos números complexos C. Uma função f: Omega C é chamada de holomorfa em Omega se ela tiver uma derivada complexa em cada ponto de Omega. Para resolver os itens (a), (b) e ©, vamos precisar entender as Equações de Cauchy-Riemann, o Teorema de Cauchy e as propriedades das funções harmônicas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Item (a): Equações de Cauchy-Riemann
Queremos mostrar que se f(x + i y) = u(x, y) + i v(x, y) é holomorfa em Omega, então:
partial upartial x = partial vpartial y e partial upartial y = -partial vpartial x
Resolução:
A definição de função holomorfa nos diz que a derivada f'(a) existe para todo a in Omega. Vamos calcular essa derivada usando caminhos paralelos aos eixos x e y.
  1. Derivada ao longo do eixo x (mantendo y constante):
f'(a) = limh to 0 f(a + h) - f(a)h
Substituindo f:
f'(a) = limh to 0 u(x + h, y) + i v(x + h, y) - u(x, y) - i v(x, y)h = partial upartial x + i partial vpartial x
  1. **Derivada ao longo do eixo y (mantendo x constante), usando h = i k onde k to 0:
f'(a) = limk to 0 f(a + i k) - f(a)i k = 1i ( partial upartial y + i partial vpartial y ) = -partial upartial y + i partial vpartial y
Como a derivada deve ser a mesma independentemente do caminho, igualamos as duas expressões:
partial upartial x + i partial vpartial x = -partial upartial y + i partial vpartial y
Comparando as partes reais e imaginárias:
partial upartial x = partial vpartial y e partial vpartial x = -partial upartial y
Estas são as Equações de Cauchy-Riemann que queríamos mostrar.

Passo 3

Item (b): Teorema de Cauchy
Precisamos mostrar que:
ointgamma f(z) dz = 0
para todo caminho simples fechado gamma que é fronteira de um domínio regular contido em Omega.
Resolução:
Vamos usar as Equações de Cauchy-Riemann que demonstramos no item (a) e aplicar o Teorema de Green.
Primeiro, escrevemos a integral ao longo de gamma:
ointgamma f(z) dz = ointgamma (u + i v)(dx + i dy) = ointgamma (u dx - v dy) + i ointgamma (v dx + u dy)
Agora, aplicamos o Teorema de Green às duas integrais:
  1. Parte real:
ointgamma (u dx - v dy) = integral duplaD ( partial (-v)partial x - partial upartial y ) dx dy
Usando as Equações de Cauchy-Riemann:
partial (-v)partial x = -partial vpartial x = partial upartial y
Então:
integral duplaD ( partial upartial y - partial upartial y ) dx dy = 0
  1. Parte imaginária:
ointgamma (v dx + u dy) = integral duplaD ( partial upartial x - partial vpartial y ) dx dy
Novamente, pelas Equações de Cauchy-Riemann:
partial upartial x = partial vpartial y
Então:
integral duplaD ( partial vpartial y - partial vpartial y ) dx dy = 0
Portanto, ambas as partes da integral são iguais a zero, concluindo que:
ointgamma f(z) dz = 0

Passo 4

Item ©: Funções harmônicas a partir de funções holomorfas
Queremos mostrar que se f = u + i v é holomorfa, então u e v são funções harmônicas, isto é, De, onde:
De
E exibir funções harmônicas a partir de funções holomorfas.
Resolução:
Começamos pelas Equações de Cauchy-Riemann:
partial upartial x = partial vpartial y e partial upartial y = -partial vpartial x
Vamos calcular o Laplaciano de u:
De
Primeiro, derivamos partial upartial x em relação a x:
partial^2 upartial x^2 = partialpartial x ( partial vpartial y ) = partial^2 vpartial x partial y
Agora, derivamos partial upartial y em relação a y:
partial^2 upartial y^2 = partialpartial y ( -partial vpartial x ) = -partial^2 vpartial y partial x = -partial^2 vpartial x partial y
Somando as duas derivadas:
De
Portanto, De. Analogamente, podemos mostrar que De. Logo, u e v são funções harmônicas.
Exemplo de função harmônica a partir de uma holomorfa:
Considere a função holomorfa f(z) = z^2 = (x + i y)^2 = x^2 - y^2 + i (2xy).
Aqui, temos:
u(x, y) = x^2 - y^2 e v(x, y) = 2xy
Calculando os laplacianos:
De
De
Portanto, tanto u quanto v são funções harmônicas.

Resposta

Concluímos que as Equações de Cauchy-Riemann são válidas para funções holomorfas, o Teorema de Cauchy garante que integrais de funções holomorfas ao longo de caminhos fechados são zero, e que as partes real e imaginária de funções holomorfas são funções harmônicas.

Exercícios relacionados

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V(Omega)=13 integral duplaS F d S
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© integral duplaS partial fpartial n d S=integral triplaOmega De, para toda função suave f.
(d) integral duplaf f partial gpartial n d S=integral triplaOmega(f De, para quaisquer funções suaves.
(e) integral duplaS(f partial gpartial n-g partial fpartial n) d S=integral triplaOmega(f De, para quaisquer funções suaves f e g.
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Resolva a EDP a seguir:
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(b) clDe.