Mostre através de um exemplo que pode existir sem que e existam.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar, usando um exemplo, que o limite do produto de duas funções, , pode existir mesmo que os limites individuais de e , ou seja, e , não existam. Vamos usar conceitos de limites de funções para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos escolher duas funções e que, quando a gente olha cada uma individualmente, os limites não existam quando se aproxima de . Mas, se a gente multiplicar essas duas funções, o limite do produto vai existir.
Vamos definir as funções da seguinte maneira:
Função : Vamos definir para ser quando for um número racional e quando for irracional.
Matemáticamente:
Função : Vamos definir da mesma forma que .
Passo 3
Vamos analisar os limites individuais primeiro:
Para : Conforme se aproxima de , pode ser tanto um número racional quanto irracional próximos a . Então, vai alternar entre e sem se estabilizar em nenhum valor específico. Por isso, o limite não existe.
Para : O mesmo raciocínio vale para . Ele também vai oscilar entre e conforme se aproxima de , então o limite não existe.
Passo 4
Agora, vamos olhar o produto das duas funções:
Perceba que:
Se ambos f(x) e g(x) forem 1 ou ambos -1, o produto será sempre 1.
Se um for 1 e o outro -1, o produto será -1.
No entanto, na verdade, há um erro aqui. Para garantir que o produto tenha um limite, precisamos ajustar as funções para que o produto seja constante.
Vamos corrigir isso:
Definindo:
f(x) = g(x) = 1, & se x é racional -1, & se x é irracional éé
Então, o produto será:
f(x) cdot g(x) = 1 cdot 1 = 1, & se ambos são racionais -1 cdot (-1) = 1, & se ambos são irracionais ãã
Ou seja, sempre1.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite do produto:
lim x p f(x) cdot g(x) = lim x p 1 = 1
Portanto, o limite do produto f(x)g(x) é 1, mesmo que os limites individuais de f(x) e g(x) não existam.
Resposta
Existe um exemplo onde lim x p f(x) g(x) = 1, mesmo que lim x p f(x) e lim x p g(x) não existam. Assim, mostramos que o limite do produto pode existir sem os limites individuais existirem.