Mostre através de um exemplo que lim x p f(x) g(x) pode existir sem que lim x p f(x) e lim x p g(x) existam.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar, usando um exemplo, que o limite do produto de duas funções, lim x p f(x) g(x), pode existir mesmo que os limites individuais de f(x) e g(x), ou seja, lim x p f(x) e lim x p g(x), não existam. Vamos usar conceitos de limites de funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher duas funções f(x) e g(x) que, quando a gente olha cada uma individualmente, os limites não existam quando x se aproxima de p. Mas, se a gente multiplicar essas duas funções, o limite do produto vai existir.
Vamos definir as funções da seguinte maneira:
  • Função f(x): Vamos definir f(x) para ser 1 quando x for um número racional e -1 quando x for irracional.
    Matemáticamente:
    f(x) = 1, & se x é racional -1, & se x é irracional éé
  • Função g(x): Vamos definir g(x) da mesma forma que f(x).
    g(x) = 1, & se x é racional -1, & se x é irracional éé

Passo 3

Vamos analisar os limites individuais primeiro:
  • Para f(x): Conforme x se aproxima de p, pode ser tanto um número racional quanto irracional próximos a p. Então, f(x) vai alternar entre 1 e -1 sem se estabilizar em nenhum valor específico. Por isso, o limite lim x p f(x) não existe.
  • Para g(x): O mesmo raciocínio vale para g(x). Ele também vai oscilar entre 1 e -1 conforme x se aproxima de p, então o limite lim x p g(x) não existe.

Passo 4

Agora, vamos olhar o produto das duas funções:
f(x) cdot g(x) = 1 cdot 1 = 1, & se ambos x são racionais 1 cdot (-1) = -1, & se x é racional e g(x) é irracional -1 cdot 1 = -1, & se x é irracional e f(x) é racional -1 cdot (-1) = 1, & se ambos x são irracionais ãééééã
Perceba que:
  • Se ambos f(x) e g(x) forem 1 ou ambos -1, o produto será sempre 1.
  • Se um for 1 e o outro -1, o produto será -1.
No entanto, na verdade, há um erro aqui. Para garantir que o produto tenha um limite, precisamos ajustar as funções para que o produto seja constante.
Vamos corrigir isso:
Definindo:
f(x) = g(x) = 1, & se x é racional -1, & se x é irracional éé
Então, o produto será:
f(x) cdot g(x) = 1 cdot 1 = 1, & se ambos são racionais -1 cdot (-1) = 1, & se ambos são irracionais ãã
Ou seja, sempre 1.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite do produto:
lim x p f(x) cdot g(x) = lim x p 1 = 1
Portanto, o limite do produto f(x)g(x) é 1, mesmo que os limites individuais de f(x) e g(x) não existam.

Resposta

Existe um exemplo onde lim x p f(x) g(x) = 1, mesmo que lim x p f(x) e lim x p g(x) não existam. Assim, mostramos que o limite do produto pode existir sem os limites individuais existirem.

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