Calcule e justifique. Solução do item
: A função
é contínua em
e, portanto,
.
(a)
(a)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite da função
quando
se aproxima de 2. Para isso, vamos utilizar o conceito de continuidade de funções polinomiais.
Passo 2
Primeiro, é importante saber que funções polinomiais são contínuas em todos os pontos do seu domínio. Isso significa que não há ‘saltos’ ou ‘buracos’ no gráfico da função. Por causa dessa propriedade, o limite de uma função polinomial quando
se aproxima de um valor específico é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 3
Como
é contínua em
, podemos calcular o limite substituindo
por 2 diretamente na função:
Resposta
O limite é 4.
Exercícios relacionados
Suponha que a região sólida
e a superfície
, orientada pelo campo unitário normal
, satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência. Demonstre que:
(a) , para todo vetor constante
.
(b) o volume de é dado por
(a)
(b) o volume de
sendo
.
© , para toda função suave
.
(d) , para quaisquer funções suaves.
(e) , para quaisquer funções suaves
e
.
Sugestão: No item ©, lembre-se que é a derivada de
na direção de
.
©
(d)
(e)
Sugestão: No item ©, lembre-se que
Calcule os limites:
(f)
(f)
Seja
o conjunto dos números complexos
um aberto. Uma função
é dita holomorfa em
, quando existe o limite
para todo
.
(a) (Equações de Cauchy-Riemann) Mostre que se é holomorfa em
, então valem as identidades
(a) (Equações de Cauchy-Riemann) Mostre que se
em todos os pontos de
.
(b) (Teorema de Cauchy) Conclua do item anterior que
(b) (Teorema de Cauchy) Conclua do item anterior que
para todo caminho simples fechado
, que é fronteira de um domínio regular contido em
.
© Use as Equações de Cauchy-Riemann para concluir que se é holomorfa, então
e
são harmônicas, ou seja, vale
. Exiba funções harmônicas de duas variáveis a partir de funções holomorfas.
Sugestão: No item (a), calcule a derivada utilizando caminhos paralelos aos eixos coordenados e compare os resultados. Quanto ao item (b), use as identidades
e aplique o teorema de Green duas vezes. Por fim, no item ©, lembre-se que
.
© Use as Equações de Cauchy-Riemann para concluir que se
Sugestão: No item (a), calcule a derivada
Calcule e justifique. Solução do item
: A função
é contínua em
e, portanto,
.
(l)
(l)