Calcule e justifique. Solução do item (a) : A função f(x)=x^2 é contínua em x=2 e, portanto, lim x 2 x^2=f(2)=4.
(a) lim x 2 x^2

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite da função quando se aproxima de 2. Para isso, vamos utilizar o conceito de continuidade de funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, é importante saber que funções polinomiais são contínuas em todos os pontos do seu domínio. Isso significa que não há ‘saltos’ ou ‘buracos’ no gráfico da função. Por causa dessa propriedade, o limite de uma função polinomial quando se aproxima de um valor específico é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 3

Como limx 2 x^2 = f(2) = 2^2 = 4 é contínua em , podemos calcular o limite substituindo por 2 diretamente na função:

Resposta

O limite é 4.

Exercícios relacionados

Suponha que a região sólida Omega subset R^3 e a superfície S=partial Omega, orientada pelo campo unitário normal n, satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência. Demonstre que:
(a) integral duplaS a cdot n=0, para todo vetor constante a in R^3.
(b) o volume de Omega é dado por
V(Omega)=13 integral duplaS F d S
sendo F(x, y, z)=x i+y j+z k.
© integral duplaS partial fpartial n d S=integral triplaOmega De, para toda função suave f.
(d) integral duplaf f partial gpartial n d S=integral triplaOmega(f De, para quaisquer funções suaves.
(e) integral duplaS(f partial gpartial n-g partial fpartial n) d S=integral triplaOmega(f De, para quaisquer funções suaves f e g.
Sugestão: No item ©, lembre-se que partial fpartial n=nabla f cdot n é a derivada de f na direção de n.
Calcule os limites:
(f) lim x 1 1-cos (2 x^3-2)x-1
Seja C o conjunto dos números complexos ^3 Omega subset C um aberto. Uma função f: Omega C é dita holomorfa em Omega, quando existe o limite
f^prime(a)=lim z a f(z)-f(a)z-a
para todo a in Omega.
(a) (Equações de Cauchy-Riemann) Mostre que se f(x+i y)=u(x, y)+i v(x, y) é holomorfa em Omega, então valem as identidades
partial upartial x=partial vpartial y e partial upartial y=-partial vpartial x
em todos os pontos de Omega.
(b) (Teorema de Cauchy) Conclua do item anterior que
ointgamma f(z) d z=0
para todo caminho simples fechado gamma, que é fronteira de um domínio regular contido em Omega.
© Use as Equações de Cauchy-Riemann para concluir que se f=u+i v é holomorfa, então u e v são harmônicas, ou seja, vale De. Exiba funções harmônicas de duas variáveis a partir de funções holomorfas.
Sugestão: No item (a), calcule a derivada f^prime(a) utilizando caminhos paralelos aos eixos coordenados e compare os resultados. Quanto ao item (b), use as identidades ointgamma f(z) d z=ointgamma(u+i v)(d x+i d y)=ointgamma u d x-v d y+i ointgamma(v d x+u d y) e aplique o teorema de Green duas vezes. Por fim, no item ©, lembre-se que De.
Calcule e justifique. Solução do item (a) : A função f(x)=x^2 é contínua em x=2 e, portanto, lim x 2 x^2=f(2)=4.
(l) lim x 3 x^2-9x-3