Resolva a EDP a seguir:
(a)
, sendo
a bola unitária fechada centrada na origem de
.
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve Equações Diferenciais Parciais (EDPs), mais especificamente a Equação de Laplace. A gente vai precisar usar conhecimentos de funções harmônicas e condições de contorno. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte (a) do exercício. A equação é dada por:
Aqui,
indica que
é uma função harmônica dentro da região
, que no caso é a bola unitária fechada centrada na origem em
. A condição na fronteira
diz que
vale 2024 em toda a superfície da bola.
Passo 3
Sabemos que em uma esfera simétrica como essa, se a condição na fronteira for constante, a solução harmônica dentro da esfera também será constante. Isso porque não há variação que precise ser balanceada dentro da região.
Passo 4
Portanto, a solução para
dentro de
é simplesmente a constante que foi dada na fronteira. Ou seja:
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b) do exercício. A equação é:
Aqui, estamos lidando com a Equação de Laplace no disco unitário no plano
, e a condição na fronteira é dada em termos de ângulo
.
Passo 6
Para resolver isso, vamos usar a expansão em série de Fourier para funções harmônicas no disco. A solução geral para uma função harmônica no disco pode ser escrita como:
Onde
é a distância do ponto ao centro, e
o ângulo.
Passo 7
A condição de contorno é
. Comparando com a série geral, vemos que apenas o termo com
está presente. Portanto, todos os coeficientes
e
para
são zero, e temos:
Passo 8
Aplicando a condição de contorno
, temos:
Passo 9
Então, a solução é:
Resposta
(a) A solução é
para todo
na bola unitária
.
(b) A solução é
para todo
no disco unitário.
Exercícios relacionados
Calcule e justifique. Solução do item
: A função
é contínua em
e, portanto,
.
(l)
(l)
Seja
o conjunto dos números complexos
um aberto. Uma função
é dita holomorfa em
, quando existe o limite
para todo
.
(a) (Equações de Cauchy-Riemann) Mostre que se é holomorfa em
, então valem as identidades
(a) (Equações de Cauchy-Riemann) Mostre que se
em todos os pontos de
.
(b) (Teorema de Cauchy) Conclua do item anterior que
(b) (Teorema de Cauchy) Conclua do item anterior que
para todo caminho simples fechado
, que é fronteira de um domínio regular contido em
.
© Use as Equações de Cauchy-Riemann para concluir que se é holomorfa, então
e
são harmônicas, ou seja, vale
. Exiba funções harmônicas de duas variáveis a partir de funções holomorfas.
Sugestão: No item (a), calcule a derivada utilizando caminhos paralelos aos eixos coordenados e compare os resultados. Quanto ao item (b), use as identidades
e aplique o teorema de Green duas vezes. Por fim, no item ©, lembre-se que
.
© Use as Equações de Cauchy-Riemann para concluir que se
Sugestão: No item (a), calcule a derivada
Mostre através de um exemplo que
pode existir sem que
e
existam.
Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções a seguir.