Resolva a EDP a seguir:
(a) cccDe, sendo Omega a bola unitária fechada centrada na origem de R^3.
(b) clDe.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve Equações Diferenciais Parciais (EDPs), mais especificamente a Equação de Laplace. A gente vai precisar usar conhecimentos de funções harmônicas e condições de contorno. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte (a) do exercício. A equação é dada por:
De
Aqui, indica que é uma função harmônica dentro da região , que no caso é a bola unitária fechada centrada na origem em . A condição na fronteira diz que vale 2024 em toda a superfície da bola.

Passo 3

Sabemos que em uma esfera simétrica como essa, se a condição na fronteira for constante, a solução harmônica dentro da esfera também será constante. Isso porque não há variação que precise ser balanceada dentro da região.

Passo 4

Portanto, a solução para u(x) = 2024 para todo x in Omega dentro de é simplesmente a constante que foi dada na fronteira. Ou seja:

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b) do exercício. A equação é:
De
Aqui, estamos lidando com a Equação de Laplace no disco unitário no plano , e a condição na fronteira é dada em termos de ângulo .

Passo 6

Para resolver isso, vamos usar a expansão em série de Fourier para funções harmônicas no disco. A solução geral para uma função harmônica no disco pode ser escrita como:
u(r, theta) = a0 + sumn=1^infty ( an r^n cos(ntheta) + bn r^n sin(ntheta) )
Onde é a distância do ponto ao centro, e o ângulo.

Passo 7

A condição de contorno é u(r, theta) = a2 r^2 cos(2theta) . Comparando com a série geral, vemos que apenas o termo com está presente. Portanto, todos os coeficientes e para são zero, e temos:

Passo 8

Aplicando a condição de contorno a2 (1)^2 cos(2theta) = cos(2theta) implies a2 = 1 , temos:

Passo 9

Então, a solução é:
u(r, theta) = r^2 cos(2theta)

Resposta

(a) A solução é para todo na bola unitária .
(b) A solução é para todo no disco unitário.

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Seja C o conjunto dos números complexos ^3 Omega subset C um aberto. Uma função f: Omega C é dita holomorfa em Omega, quando existe o limite
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para todo a in Omega.
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em todos os pontos de Omega.
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ointgamma f(z) d z=0
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© Use as Equações de Cauchy-Riemann para concluir que se f=u+i v é holomorfa, então u e v são harmônicas, ou seja, vale De. Exiba funções harmônicas de duas variáveis a partir de funções holomorfas.
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