Suponha que a região sólida Omega subset R^3 e a superfície S=partial Omega, orientada pelo campo unitário normal n, satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência. Demonstre que:
(a) integral duplaS a cdot n=0, para todo vetor constante a in R^3.
(b) o volume de Omega é dado por
V(Omega)=13 integral duplaS F d S
sendo F(x, y, z)=x i+y j+z k.
© integral duplaS partial fpartial n d S=integral triplaOmega De, para toda função suave f.
(d) integral duplaf f partial gpartial n d S=integral triplaOmega(f De, para quaisquer funções suaves.
(e) integral duplaS(f partial gpartial n-g partial fpartial n) d S=integral triplaOmega(f De, para quaisquer funções suaves f e g.
Sugestão: No item ©, lembre-se que partial fpartial n=nabla f cdot n é a derivada de f na direção de n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma região sólida no espaço tridimensional e sua superfície , que está bem orientada com um vetor normal . O exercício quer a gente demonstrar algumas propriedades usando o Teorema da Divergência. Vamos precisar entender o que é o Teorema da Divergência e como aplicá-lo a cada parte do exercício. Vamos resolver cada item passo a passo.

Passo 2

Item (a)

Queremos mostrar que:
integral duplaS a cdot n , dS = 0
para qualquer vetor constante integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaOmega nabla cdot F , dV .
Primeiro, lembrando o Teorema da Divergência, temos:
integral duplaS a cdot n , dS = integral triplaOmega 0 , dV = 0
Aqui, vamos escolher , que é um vetor constante.
Como é constante, a divergência é zero porque não tem variação espacial.
Então:

Passo 3

Item (b)

Queremos demonstrar que o volume de V(Omega) = 13 integral duplaS F cdot n , dS é dado por:
nabla cdot F = partial xpartial x + partial ypartial y + partial zpartial z = 1 + 1 + 1 = 3
onde integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaOmega nabla cdot F , dV = integral triplaOmega 3 , dV = 3 V(Omega) .
Vamos aplicar o Teorema da Divergência novamente. Escolhemos V(Omega) = 13 integral duplaS F cdot n , dS como definido.
Calcular a divergência de :
Aplicando o Teorema da Divergência:
Rearranjando:

Passo 4

Item ©

Queremos mostrar que:
integral duplaS partial fpartial n , dS = integral triplaOmega De
para toda função suave integral duplaS nabla f cdot n , dS = integral triplaOmega nabla cdot (nabla f) , dV = integral triplaOmega De.
Primeiro, sabemos que , que é a derivada direcional de na direção normal à superfície.
Vamos usar o Teorema de Green (ou a Divergência) para funções escalares. Observamos que , onde é o Laplaciano.
Aplicando o Teorema da Divergência:

Passo 5

Item (d)

Queremos demonstrar que:
integral duplaS f partial gpartial n , dS = integral triplaOmega (f De
para quaisquer funções suaves nabla cdot (f nabla g) = nabla f cdot nabla g + f nabla cdot (nabla g) = nabla f cdot nabla g + f De e integral duplaS f nabla g cdot n , dS = integral triplaOmega (nabla f cdot nabla g + f De.
Vamos considerar o produto integral duplaS f partial gpartial n , dS = integral triplaOmega (f De. A divergência desse campo vetorial é:
Aplicando o Teorema da Divergência:
Note que , então:

Passo 6

Item (e)

Queremos mostrar que:
integral duplaS ( f partial gpartial n - g partial fpartial n ) dS = integral triplaOmega (f De
para quaisquer funções suaves integral duplaS f partial gpartial n , dS = integral triplaOmega (f De e integral duplaS g partial fpartial n , dS = integral triplaOmega (g De.
Vamos usar os resultados dos itens anteriores. Sabemos que:
integral duplaS ( f partial gpartial n - g partial fpartial n ) dS = integral triplaOmega (f De
e
= integral triplaOmega (f De
Subtraindo as duas equações:
Simplificando os termos:

Resposta

Demonstramos que para cada item:
(a)
(b)
©
(d)
(e)

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(a) (Equações de Cauchy-Riemann) Mostre que se f(x+i y)=u(x, y)+i v(x, y) é holomorfa em Omega, então valem as identidades
partial upartial x=partial vpartial y e partial upartial y=-partial vpartial x
em todos os pontos de Omega.
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ointgamma f(z) d z=0
para todo caminho simples fechado gamma, que é fronteira de um domínio regular contido em Omega.
© Use as Equações de Cauchy-Riemann para concluir que se f=u+i v é holomorfa, então u e v são harmônicas, ou seja, vale De. Exiba funções harmônicas de duas variáveis a partir de funções holomorfas.
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