Suponha que a região sólida
e a superfície
, orientada pelo campo unitário normal
, satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência. Demonstre que:
(a)
, para todo vetor constante
.
(b) o volume de
é dado por
sendo
.
©
, para toda função suave
.
(d)
, para quaisquer funções suaves.
(e)
, para quaisquer funções suaves
e
.
Sugestão: No item ©, lembre-se que
é a derivada de
na direção de
.
(a)
(b) o volume de
©
(d)
(e)
Sugestão: No item ©, lembre-se que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma região sólida
no espaço tridimensional e sua superfície
, que está bem orientada com um vetor normal
. O exercício quer a gente demonstrar algumas propriedades usando o Teorema da Divergência. Vamos precisar entender o que é o Teorema da Divergência e como aplicá-lo a cada parte do exercício. Vamos resolver cada item passo a passo.
Passo 2
Item (a)
Queremos mostrar que:
para qualquer vetor constante
.
Primeiro, lembrando o Teorema da Divergência, temos:
Aqui, vamos escolher
, que é um vetor constante.
Como
é constante, a divergência
é zero porque não tem variação espacial.
Então:
Passo 3
Item (b)
Queremos demonstrar que o volume de
é dado por:
onde
.
Vamos aplicar o Teorema da Divergência novamente. Escolhemos
como definido.
Calcular a divergência de
:
Aplicando o Teorema da Divergência:
Rearranjando:
Passo 4
Item ©
Queremos mostrar que:
para toda função suave
.
Primeiro, sabemos que
, que é a derivada direcional de
na direção normal à superfície.
Vamos usar o Teorema de Green (ou a Divergência) para funções escalares. Observamos que
, onde
é o Laplaciano.
Aplicando o Teorema da Divergência:
Passo 5
Item (d)
Queremos demonstrar que:
para quaisquer funções suaves
e
.
Vamos considerar o produto
. A divergência desse campo vetorial é:
Aplicando o Teorema da Divergência:
Note que
, então:
Passo 6
Item (e)
Queremos mostrar que:
para quaisquer funções suaves
e
.
Vamos usar os resultados dos itens anteriores. Sabemos que:
e
Subtraindo as duas equações:
Simplificando os termos:
Resposta
Demonstramos que para cada item:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Exercícios relacionados
Calcule os limites:
(f)
(f)
Encontre a transformada de Laplace.
Calcule e justifique. Solução do item
: A função
é contínua em
e, portanto,
.
(a)
(a)
Seja
o conjunto dos números complexos
um aberto. Uma função
é dita holomorfa em
, quando existe o limite
para todo
.
(a) (Equações de Cauchy-Riemann) Mostre que se é holomorfa em
, então valem as identidades
(a) (Equações de Cauchy-Riemann) Mostre que se
em todos os pontos de
.
(b) (Teorema de Cauchy) Conclua do item anterior que
(b) (Teorema de Cauchy) Conclua do item anterior que
para todo caminho simples fechado
, que é fronteira de um domínio regular contido em
.
© Use as Equações de Cauchy-Riemann para concluir que se é holomorfa, então
e
são harmônicas, ou seja, vale
. Exiba funções harmônicas de duas variáveis a partir de funções holomorfas.
Sugestão: No item (a), calcule a derivada utilizando caminhos paralelos aos eixos coordenados e compare os resultados. Quanto ao item (b), use as identidades
e aplique o teorema de Green duas vezes. Por fim, no item ©, lembre-se que
.
© Use as Equações de Cauchy-Riemann para concluir que se
Sugestão: No item (a), calcule a derivada