Calcule e justifique (usando as propriedades de limite):
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! Primeiro, o enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de da função . A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo de Limites, especificamente lidando com formas indeterminadas. Para resolver, vamos precisar substituir o valor de na função e, se necessário, simplificar a expressão.
Passo 2
Vamos começar tentando substituir diretamente na função para ver o que acontece. Substituindo no numerador:
No denominador:
Obtemos , que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Quando encontramos uma forma indeterminada como , uma estratégia comum é fatorar o numerador e o denominador para cancelar termos que causaram essa indeterminação. Sabemos que se substituindo dá zero no numerador e no denominador, então é um fator de ambos.
Passo 4
Vamos fatorar o numerador usando como fator. Fazendo a divisão polinomial ou usando a regra de fator, obtemos:
Agora, vamos fatorar o denominador . Notamos que , então podemos reescrever:
Para facilitar a fatoração, consideramos :
Fatorando:
E, como , temos:
Passo 5
Agora que fatoramos tanto o numerador quanto o denominador, podemos reescrever a expressão original:
Notamos que aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar esse termo (desde que , o que é válido para limites):
Passo 6
Agora, podemos calcular o limite substituindo na expressão simplificada: