Calcule e justifique (usando as propriedades de limite): lim x -1 x^3-3 x^2+5 x+9-x^6+10 x^3+11

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! Primeiro, o enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de da função . A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo de Limites, especificamente lidando com formas indeterminadas. Para resolver, vamos precisar substituir o valor de na função e, se necessário, simplificar a expressão.

Passo 2

Vamos começar tentando substituir (-1)^3 - 3(-1)^2 + 5(-1) + 9 = -1 - 3(1) -5 + 9 = -1 -3 -5 +9 = 0 diretamente na função para ver o que acontece. Substituindo no numerador:
-(-1)^6 + 10(-1)^3 + 11 = -1 + (-10) + 11 = -1 -10 +11 = 0
No denominador:
Obtemos , que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada como , uma estratégia comum é fatorar o numerador e o denominador para cancelar termos que causaram essa indeterminação. Sabemos que se substituindo dá zero no numerador e no denominador, então é um fator de ambos.

Passo 4

Vamos fatorar o numerador x^3 - 3x^2 + 5x + 9 = (x + 1)(x^2 - 4x + 9) usando -x^6 + 10x^3 + 11 = -(x^3)^2 + 10x^3 + 11 como fator. Fazendo a divisão polinomial ou usando a regra de fator, obtemos:
- y^2 + 10y + 11 = -(y^2 - 10y - 11)
Agora, vamos fatorar o denominador -(y - 11)(y + 1) = -(x^3 - 11)(x^3 + 1) . Notamos que -x^6 + 10x^3 + 11 = -(x + 1)(x^2 - x + 1)(x^3 - 11) , então podemos reescrever:
Para facilitar a fatoração, consideramos :
Fatorando:
E, como , temos:

Passo 5

Agora que fatoramos tanto o numerador quanto o denominador, podemos reescrever a expressão original:
(x + 1)(x^2 - 4x + 9)-(x + 1)(x^2 - x + 1)(x^3 - 11)
Notamos que x^2 - 4x + 9-(x^2 - x + 1)(x^3 - 11) aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar esse termo (desde que , o que é válido para limites):

Passo 6

Agora, podemos calcular o limite substituindo (-1)^2 - 4(-1) + 9-((-1)^2 - (-1) + 1)((-1)^3 - 11) = 1 + 4 + 9-((1 + 1 + 1)(-1 -11)) = 14- (3 times (-12)) = 1436 = 718 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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