Calcule e justifique (usando as propriedades de limite):

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! Primeiro, o enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de da função . A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo de Limites, especificamente lidando com formas indeterminadas. Para resolver, vamos precisar substituir o valor de na função e, se necessário, simplificar a expressão.

Passo 2

Vamos começar tentando substituir diretamente na função para ver o que acontece. Substituindo no numerador:
No denominador:
Obtemos , que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada como , uma estratégia comum é fatorar o numerador e o denominador para cancelar termos que causaram essa indeterminação. Sabemos que se substituindo dá zero no numerador e no denominador, então é um fator de ambos.

Passo 4

Vamos fatorar o numerador usando como fator. Fazendo a divisão polinomial ou usando a regra de fator, obtemos:
Agora, vamos fatorar o denominador . Notamos que , então podemos reescrever:
Para facilitar a fatoração, consideramos :
Fatorando:
E, como , temos:

Passo 5

Agora que fatoramos tanto o numerador quanto o denominador, podemos reescrever a expressão original:
Notamos que aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar esse termo (desde que , o que é válido para limites):

Passo 6

Agora, podemos calcular o limite substituindo na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

(Uepg) Considerando que a, b e c são as soluções da equação e , assinale o que for correto.
Calcule e justifique (usando as propriedades de limite):
Calcule os limites:
Determine os valores de e de modo que a função definida por seja derivável em .