Determine os valores de
e
de modo que a função definida por
seja derivável em
.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos encontrar os valores de
e
para que a função definida por
seja derivável em
.
Conteúdo envolvido:
- Continuidade de funções: Para uma função ser derivável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto.
- Derivadas laterais: As derivadas pela esquerda e pela direita devem ser iguais no ponto considerado.
O que vamos precisar:
- Garantir que a função seja contínua em
. - Calcular as derivadas das duas partes da função e igualá-las em
.
Passo 2
Garantir a continuidade em
:
Para a função ser contínua em
, os limites das duas partes da função devem ser iguais em
.
Primeiro, calculamos
usando a segunda parte da função (já que
):
Agora, igualamos isso ao valor da primeira parte da função em
:
Passo 3
Calcular as derivadas das duas partes da função:
Primeiro, derivamos cada parte da função em relação a
.
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Igualar as derivadas em
:
A derivada pela esquerda (para
) é
.
A derivada pela direita (para
) em
é:
Para que a função seja derivável em
, as derivadas devem ser iguais:
Passo 5
Resolver o sistema de equações:
Temos:
Substituindo
na Equação 1:
Resposta
Os valores são
e
.
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é
, então a é um número par.
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