Determine os valores de a e b de modo que a função definida por f(x) = { a*x + b, se x < 2; 2*x² - 1, se x ≥ 2 } seja derivável em x = 2.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos encontrar os valores de e para que a função definida por
seja derivável em .
Conteúdo envolvido:
  • Continuidade de funções: Para uma função ser derivável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto.
  • Derivadas laterais: As derivadas pela esquerda e pela direita devem ser iguais no ponto considerado.
O que vamos precisar:
  1. Garantir que a função seja contínua em .
  2. Calcular as derivadas das duas partes da função e igualá-las em .

Passo 2

Garantir a continuidade em :
Para a função ser contínua em , os limites das duas partes da função devem ser iguais em .
Primeiro, calculamos usando a segunda parte da função (já que ):
Agora, igualamos isso ao valor da primeira parte da função em :
çã

Passo 3

Calcular as derivadas das duas partes da função:
Primeiro, derivamos cada parte da função em relação a .
  1. Para :
  1. Para :

Passo 4

Igualar as derivadas em :
A derivada pela esquerda (para ) é .
A derivada pela direita (para ) em é:
Para que a função seja derivável em , as derivadas devem ser iguais:
çã

Passo 5

Resolver o sistema de equações:
Temos:
çãçã
Substituindo na Equação 1:

Resposta

Os valores são e .

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