(Uepg) Considerando que a, b e c são as soluções da equação e , assinale o que for correto.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão fala sobre encontrar as soluções , e da equação cúbica , onde sabemos que . Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema das Raízes Racionais e o fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar encontrar uma raiz racional da equação usando o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema nos diz que possíveis raízes racionais são fatores do termo constante dividido pelos fatores do coeficiente principal. No nosso caso, os termos são:
  • Termo constante: 15
  • Coeficiente principal: 1
Então, as possíveis raízes racionais são .
Vamos testar :
Legal! é uma raiz da equação.

Passo 3

Agora que sabemos que é uma raiz, podemos fatorar a equação cúbica usando esse fator. Vamos dividir a equação por :
Agora, precisamos resolver a equação quadrática . Vamos fatorar essa equação:
Então, as outras raízes são e .

Passo 4

Já encontramos todas as raízes da equação:
E confirma que .

Resposta

As soluções são , e .

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