Calcule e justifique (usando as propriedades de limite): lim x 0 x^2(1-x)3 x

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo de Limites, mais especificamente ao uso das propriedades de limites para simplificar e calcular expressões algébricas. Para resolver, vamos precisar aplicar propriedades básicas de limites, como a da soma, produto e a da divisão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observamos que no numerador temos x^2(1 - x)3x = x cdot x (1 - x)3x = x (1 - x)3 e no denominador temos . Podemos simplificar a fração dividindo ambos os termos por :
Aqui, cancelamos um no numerador e no denominador.

Passo 3

Agora, a expressão simplificada fica:
x (1 - x)3
Podemos separar os termos utilizando a propriedade da divisão:
x (1 - x)3 = x3 cdot (1 - x)

Passo 4

Para calcular o limite, vamos aplicar a propriedade do limite do produto, que diz que limx to 0 x3 cdot (1 - x) = ( limx to 0 x3 ) cdot ( limx to 0 (1 - x) ) , desde que os limites existam.
Então, temos:

Passo 5

Calculando cada limite individualmente:

Passo 6

Multiplicando os resultados dos limites:
0 cdot 1 = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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