Calcule e justifique (usando as propriedades de limite): lim x 0 x^2-42-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 da função . Vamos usar as propriedades dos limites para encontrar a resposta. Para isso, vamos precisar saber como avaliar limites de funções polinomiais e entender como dividir os limites de uma fração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular . Isso quer dizer que queremos saber qual valor a função se aproxima quando fica muito, muito perto de 0.

Passo 3

Vamos começar substituindo 0^2 - 42 - 0 = 0 - 42 = -42 = -2 na função para ver o que acontece:
Então, ao substituir diretamente, obtemos o valor .

Passo 4

Agora, vamos justificar essa substituição usando as propriedades dos limites. Sabemos que se as funções no numerador e no denominador são contínuas no ponto em que estamos calculando o limite (nesse caso, ), podemos simplesmente substituir o valor de no limite.

Passo 5

A função no numerador é limx to a f(x)g(x) = limx to a f(x)limx to a g(x) , que é um polinômio e, portanto, contínuo em todos os pontos. A função no denominador é , que também é um polinômio e contínua em todos os pontos, inclusive em . Como ambas as funções são contínuas, podemos aplicar a propriedade de que:
desde que .

Passo 6

Aplicando essa propriedade:
limx to 0 x^2 - 42 - x = limx to 0 (x^2 - 4)limx to 0 (2 - x) = 0 - 42 - 0 = -42 = -2
Portanto, o limite é .

Resposta

limx to 0 x^2 - 42 - x = -2

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