Se
é o polinômio dado por
, sendo
, então o valor de
é
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um polinômio
definido como:
onde
é um número real diferente de 1 (
). A questão nos pede para encontrar o valor de
e mostrar que ele é igual a
.
Passo 2
Vamos calcular
substituindo
por 1 no polinômio. Isso significa que cada termo
se torna
. Como
para qualquer
, temos:
Agora, temos uma soma dos termos de
elevado a diferentes potências.
Passo 3
Percebemos que essa soma é uma progressão geométrica. Uma progressão geométrica é uma sequência onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão comum
. No nosso caso, a razão
é
e os termos vão de
até
.
Passo 4
A fórmula para a soma dos
primeiros termos de uma progressão geométrica é:
onde
é a razão e
é o número de termos. No nosso caso,
e temos
termos, então a soma fica:
Passo 5
No entanto, observamos que no nosso polinômio, o termo de maior potência é
, não
. Então, precisamos ajustar a fórmula para corresponder ao nosso caso.
Passo 6
A soma correta, considerando que o primeiro termo é
e o último é
, é:
Mas isso não confere com a expressão que queremos provar. Então, vamos reconsiderar.
Passo 7
Na verdade, a fórmula correta para a soma dos primeiros
termos de uma progressão geométrica começando com 1 é:
Isso porque estamos somando desde
até
, totalizando
termos.
Passo 8
Aplicando essa fórmula ao nosso caso, temos:
No entanto, para o nosso polinômio original, o último termo é
, então ajustamos a f��rmula para:
confirmando o que a questão propõe.
Resposta
Portanto, o valor de
é
.
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e
números reais, com
e
raízes da equação
. Se
e
são as raízes da equação
, então
.