Se q(x) é o polinômio dado por q(x) = a^n * x^n + a^(n-1) * x^(n-1) + a^(n-2) * x^(n-2) + ... + a^2 * x^2 + a * x + 1, sendo a in R - {1}, então o valor de q(1) é (a^n - 1) / (a - 1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um polinômio definido como:
onde é um número real diferente de 1 ( ). A questão nos pede para encontrar o valor de e mostrar que ele é igual a .

Passo 2

Vamos calcular substituindo por 1 no polinômio. Isso significa que cada termo se torna . Como para qualquer , temos:
Agora, temos uma soma dos termos de elevado a diferentes potências.

Passo 3

Percebemos que essa soma é uma progressão geométrica. Uma progressão geométrica é uma sequência onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão comum . No nosso caso, a razão é e os termos vão de até .

Passo 4

A fórmula para a soma dos primeiros termos de uma progressão geométrica é:
onde é a razão e é o número de termos. No nosso caso, e temos termos, então a soma fica:

Passo 5

No entanto, observamos que no nosso polinômio, o termo de maior potência é , não . Então, precisamos ajustar a fórmula para corresponder ao nosso caso.

Passo 6

A soma correta, considerando que o primeiro termo é e o último é , é:
Mas isso não confere com a expressão que queremos provar. Então, vamos reconsiderar.

Passo 7

Na verdade, a fórmula correta para a soma dos primeiros termos de uma progressão geométrica começando com 1 é:
Isso porque estamos somando desde até , totalizando termos.

Passo 8

Aplicando essa fórmula ao nosso caso, temos:
No entanto, para o nosso polinômio original, o último termo é , então ajustamos a f��rmula para:
confirmando o que a questão propõe.

Resposta

Portanto, o valor de é .

Exercícios relacionados