Sejam b, c, alpha e beta números reais, com alpha e beta raízes da equação x^2 - x + c = 0. Se alpha + 1 e beta + 1 são as raízes da equação x^2 - b x + 2 = 0, então b + c = 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre equações quadráticas e suas raízes. Mais especificamente, temos duas equações:
  1. com raízes e .
  2. cujas raízes são e .
O objetivo é mostrar que . Para isso, vamos usar propriedades das raízes de equações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma equação quadrática da forma , a soma das raízes e o produto das raízes .
Aplicando isso à primeira equação :
  • Soma das raízes: (porque )
  • Produto das raízes:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a mesma ideia para a segunda equação , onde as raízes são e :
  • Soma das novas raízes: (usando )
    Sabemos que a soma das raízes também é igual a (porque ), então .

Passo 4

Agora que temos , precisamos encontrar . Lembrando que o produto das novas raízes é:
Mas o produto das raízes da segunda equação também é igual a 2, então:

Passo 5

Resolvendo a equação para :

Resposta

Portanto, .

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