Estudar, no que se refere a máximos e mínimos, as seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa estudar os máximos e mínimos da função . Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente em derivadas e análise de funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar onde ela é zero ou não existe, e então determinar se esses pontos são máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto.

Passo 3

Para derivar , vamos usar a Regra do Quociente, que é ótima para derivar funções que são um quociente de duas funções. A Regra do Quociente diz que se , então:
No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e :

Passo 5

Agora, aplicando a Regra do Quociente:

Passo 6

Vamos encontrar onde a derivada é igual a zero ou não existe. A derivada está definida para todo , já que o denominador nunca é zero. Então, apenas precisamos resolver:

Passo 7

Temos dois pontos críticos: e . Agora, vamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos usando a Segunda Derivada ou o Teste da Primeira Derivada. Vamos optar pelo Teste da Primeira Derivada.

Passo 8

Escolhemos valores próximos aos pontos críticos para ver o comportamento da derivada:
  • Para :
    • Se escolhermos ,
    • Se escolhermos ,
    • A derivada passa de negativa para positiva, indicando um mínimo em .
  • Para :
    • Se escolhermos ,
    • Se escolhermos ,
    • A derivada passa de positiva para negativa, indicando um máximo em .

Passo 9

Vamos encontrar as coordenadas dos pontos:
  • Para :
    Então, temos um mínimo em .
  • Para :
    Então, temos um máximo em .

Resposta

A função possui um máximo relativo em com valor e um mínimo relativo em com valor .

Exercícios relacionados

Estudar, no que se refere a máximos e mínimos, as seguintes funções:
O quociente da divisão de por é .
Calcule e justifique (usando as propriedades de limite):
Se é o polinômio dado por , sendo , então o valor de é .