Estudar, no que se refere a máximos e mínimos, as seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa estudar os máximos e mínimos da função
. Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente em derivadas e análise de funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar onde ela é zero ou não existe, e então determinar se esses pontos são máximos ou mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto.
Passo 3
Para derivar
, vamos usar a Regra do Quociente, que é ótima para derivar funções que são um quociente de duas funções. A Regra do Quociente diz que se
, então:
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Passo 5
Agora, aplicando a Regra do Quociente:
Passo 6
Vamos encontrar onde a derivada é igual a zero ou não existe. A derivada
está definida para todo
, já que o denominador nunca é zero. Então, apenas precisamos resolver:
Passo 7
Temos dois pontos críticos:
e
. Agora, vamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos usando a Segunda Derivada ou o Teste da Primeira Derivada. Vamos optar pelo Teste da Primeira Derivada.
Passo 8
Escolhemos valores próximos aos pontos críticos para ver o comportamento da derivada:
-
Para
: - Se escolhermos
, - Se escolhermos
, - A derivada passa de negativa para positiva, indicando um mínimo em
.
- Se escolhermos
-
Para
: - Se escolhermos
, - Se escolhermos
, - A derivada passa de positiva para negativa, indicando um máximo em
.
- Se escolhermos
Passo 9
Vamos encontrar as coordenadas dos pontos:
-
Para
: Então, temos um mínimo em. -
Para
: Então, temos um máximo em.
Resposta
A função
possui um máximo relativo em
com valor
e um mínimo relativo em
com valor
.
Exercícios relacionados
Estudar, no que se refere a máximos e mínimos, as seguintes funções:
O quociente da divisão de
por
é
.
Calcule e justifique (usando as propriedades de limite):
Se
é o polinômio dado por
, sendo
, então o valor de
é
.