Estudar, no que se refere a máximos e mínimos, as seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na função que você enviou:
. O que a gente precisa fazer aqui é estudar os máximos e mínimos dessa função. Para isso, vamos usar o que a gente aprende em cálculo sobre derivadas, que nos ajudam a encontrar esses pontos de máximo e mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os máximos e mínimos de uma função, a gente precisa achar os pontos críticos. Esses pontos são onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. Então, vamos começar calculando a derivada primeira da função
.
A derivada primeira de
é:
Passo 3
Agora que temos a derivada, vamos igualá-la a zero para encontrar os pontos críticos:
Dividindo ambos os lados por 3:
E tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Então, o único ponto crítico é quando
.
Passo 4
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão, vamos usar a derivada segunda. A derivada segunda nos dá informações sobre a concavidade da função naquele ponto.
Vamos calcular a derivada segunda da função:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a derivada segunda no ponto crítico
:
Quando a derivada segunda é zero, o teste fica inconclusivo. Isso significa que precisamos analisar graficamente ou usar outros métodos para entender o comportamento da função.
Observando a função
, sabemos que é uma função cúbica que cresce para
positivos e diminui para
negativos, passando pelo ponto
sem atingir um máximo ou mínimo local.
Resposta
A função
não possui máximos ou mínimos locais.
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O quociente da divisão de
por
é
.
Calcule e justifique (usando as propriedades de limite):
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