Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema! A gente precisa resolver uma equação diferencial usando a transformada de Laplace. A equação que temos é:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de primeira ordem, e vamos usar a transformada de Laplace para encontrar a solução. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades da transformada de Laplace e como aplicá-la em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. A transformada de Laplace de uma derivada,
, é dada por:
Onde
é a transformada de Laplace de
, e
é a condição inicial.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace na equação:
Substituindo as transformadas:
Passo 4
Agora, substituímos
:
Vamos agrupar os termos com
:
Passo 5
Isolando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, vamos achar a transformada inversa de Laplace para encontrar
.
Sabemos que:
E:
Passo 7
Aplicando as transformadas inversas:
Podemos fatorar
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Dado o sistema de equações diferencias
:
a) Classifique a solução de equilibrio.
b) Se possível, encontre a solução geral.
c) As soluções são Linearmente Independentes? Justifique.
d) Faça um esboço do retrato de fase.
a) Classifique a solução de equilibrio.
b) Se possível, encontre a solução geral.
c) As soluções são Linearmente Independentes? Justifique.
d) Faça um esboço do retrato de fase.
Calcule
por convoluções.
Utilize a transformação dada para calcular a integral.
, onde
é o paralelogramo com vértices
,
Obtenha uma representação em série de potências para as funções:
(a)
(a)