Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial:
d/dt y + 4y = e^(-4t), y(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema! A gente precisa resolver uma equação diferencial usando a transformada de Laplace. A equação que temos é:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de primeira ordem, e vamos usar a transformada de Laplace para encontrar a solução. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades da transformada de Laplace e como aplicá-la em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. A transformada de Laplace de uma derivada, , é dada por:
Onde é a transformada de Laplace de , e é a condição inicial.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace na equação:
Substituindo as transformadas:

Passo 4

Agora, substituímos :
Vamos agrupar os termos com :

Passo 5

Isolando :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Agora, vamos achar a transformada inversa de Laplace para encontrar .
Sabemos que:
E:

Passo 7

Aplicando as transformadas inversas:
Podemos fatorar :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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