Dado o sistema de equações diferencias :
a) Classifique a solução de equilibrio.
b) Se possível, encontre a solução geral.
c) As soluções são Linearmente Independentes? Justifique.
d) Faça um esboço do retrato de fase.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um sistema de equações diferenciais lineares na forma matricial:
Aqui, o conteúdo da matéria envolve sistemas de equações diferenciais lineares, autovalores e autovetores. Para resolver esse exercício, vamos precisar:
Encontrar os autovalores da matriz.
Classificar o ponto de equilíbrio com base nos autovalores.
Determinar se as soluções são linearmente independentes.
Esboçar o retrato de fase.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Para isso, resolvemos o determinante de :
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 3
Com os autovalores e , podemos classificar o ponto de equilíbrio. Como ambos os autovalores são reais e negativos, isso significa que o ponto de equilíbrio é assintoticamente estável e o sistema é um nó estável.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a solução geral do sistema. Para cada autovalor, encontramos o autovetor correspondente.
Para :
$$
(A + I) v = 0 \Rightarrow
$$
Isso nos dá . Podemos escolher .
Para :
$$
(A + 3I) v = 0 \Rightarrow
$$
Isso nos dá . Podemos escolher .
Então, a solução geral é:
Passo 5
Para verificar se as soluções são linearmente independentes, observamos os autovetores e . Como e não são múltiplos um do outro, eles são linearmente independentes. Isso garante que a solução geral encontrada é a combinação linear completa das soluções individuais.
Passo 6
Por fim, vamos fazer um esboço do retrato de fase. Como ambos os autovalores são negativos e reais, o sistema apresenta um nó estável. As trajetórias no plano convergem para o ponto de equilíbrio na origem, seguindo as direções dos autovetores.
Então, o retrato de fase terá vetores convergindo para a origem ao longo das direções dos autovetores e , formando um padrão estável de convergência.
Resposta
a) A solução de equilíbrio é um nó estável, pois ambos os autovalores são reais e negativos.
b) A solução geral é .
c) Sim, as soluções são linearmente independentes porque os autovetores correspondentes são linearmente independentes.
d) O retrato de fase é um nó estável com trajetórias convergindo para a origem ao longo das direções dos autovetores e .