Dado o sistema de equações diferencias :
a) Classifique a solução de equilibrio.
b) Se possível, encontre a solução geral.
c) As soluções são Linearmente Independentes? Justifique.
d) Faça um esboço do retrato de fase.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um sistema de equações diferenciais lineares na forma matricial:
Aqui, o conteúdo da matéria envolve sistemas de equações diferenciais lineares, autovalores e autovetores. Para resolver esse exercício, vamos precisar:
  1. Encontrar os autovalores da matriz.
  2. Classificar o ponto de equilíbrio com base nos autovalores.
  3. Determinar se as soluções são linearmente independentes.
  4. Esboçar o retrato de fase.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Para isso, resolvemos o determinante de :
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:

Passo 3

Com os autovalores e , podemos classificar o ponto de equilíbrio. Como ambos os autovalores são reais e negativos, isso significa que o ponto de equilíbrio é assintoticamente estável e o sistema é um nó estável.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a solução geral do sistema. Para cada autovalor, encontramos o autovetor correspondente.
Para :

$$
(A + I) v = 0 \Rightarrow

$$
Isso nos dá . Podemos escolher .
Para :

$$
(A + 3I) v = 0 \Rightarrow

$$
Isso nos dá . Podemos escolher .
Então, a solução geral é:

Passo 5

Para verificar se as soluções são linearmente independentes, observamos os autovetores e . Como e não são múltiplos um do outro, eles são linearmente independentes. Isso garante que a solução geral encontrada é a combinação linear completa das soluções individuais.

Passo 6

Por fim, vamos fazer um esboço do retrato de fase. Como ambos os autovalores são negativos e reais, o sistema apresenta um nó estável. As trajetórias no plano convergem para o ponto de equilíbrio na origem, seguindo as direções dos autovetores.
Então, o retrato de fase terá vetores convergindo para a origem ao longo das direções dos autovetores e , formando um padrão estável de convergência.

Resposta

a) A solução de equilíbrio é um nó estável, pois ambos os autovalores são reais e negativos.
b) A solução geral é .
c) Sim, as soluções são linearmente independentes porque os autovetores correspondentes são linearmente independentes.
d) O retrato de fase é um nó estável com trajetórias convergindo para a origem ao longo das direções dos autovetores e .

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