Calcule: L^{-1}(2(s-1)e^{-2s}/(s^{2}-2s+2))

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a transformada inversa de Laplace da função . A matéria envolvida aqui é Transformada de Laplace, especificamente a propriedade de atraso devido ao termo e manipulação algébrica para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte que não envolve o termo , ou seja, . Essa parte representa uma função que vamos transformar de volta para o domínio do tempo.

Passo 3

Observando o denominador , podemos completar o quadrado para facilitar a identificação da transformada inversa. Completar o quadrado é uma técnica para reescrever expressões quadráticas.

Passo 4

Para completar o quadrado no denominador:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, reconhecemos que tem uma transformada inversa conhecida, que é . No nosso caso, e .

Passo 6

Aplicando a transformada inversa:

Passo 7

Mas não podemos esquecer do termo na função original. Esse termo representa um atraso (ou deslocamento no tempo) na transformada inversa. A propriedade é:
Onde é a função degrau de Heaviside.

Passo 8

Aplicando essa propriedade com :

Resposta

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