Use a Transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A questão nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais em
. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais e como lidar com condições iniciais que não estão no tempo zero.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial dada:
com as condições iniciais:
Como as condições iniciais estão em
e não em
, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar. Vamos definir uma nova variável
, assim quando
,
. Definimos
. Isso nos permite reescrever a equação diferencial em termos de
.
Passo 3
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação original:
Com as condições iniciais transformadas:
Passo 4
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace na equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace da derivada segunda é:
E similarmente para a primeira derivada:
Aplicando a Transformada de Laplace em toda a equação:
Simplificando:
Fatorando
:
Passo 5
Resolvendo para
:
Fatorando o denominador quadrático:
Então:
Passo 6
Vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resolvendo para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Então:
Passo 7
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa para encontrar
:
Passo 8
Lembrando que
, então substituímos de volta para
:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação diferencial é: