Use a Transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial: y'' - 3y' + 2y = e^(-t) y(1) = 0, y'(1) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A questão nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais em . Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais e como lidar com condições iniciais que não estão no tempo zero.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial dada:
com as condições iniciais:
Como as condições iniciais estão em e não em , vamos fazer uma mudança de variável para simplificar. Vamos definir uma nova variável , assim quando , . Definimos . Isso nos permite reescrever a equação diferencial em termos de .

Passo 3

Calculamos as derivadas de :
Substituindo na equação original:
Com as condições iniciais transformadas:

Passo 4

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace na equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace da derivada segunda é:
E similarmente para a primeira derivada:
Aplicando a Transformada de Laplace em toda a equação:
Simplificando:
Fatorando :

Passo 5

Resolvendo para :
Fatorando o denominador quadrático:
Então:

Passo 6

Vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo para :
Para :
Para :
Para :
Então:

Passo 7

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa para encontrar :

Passo 8

Lembrando que , então substituímos de volta para :
Simplificando:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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