Use a Transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A questão nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais em
. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais e como lidar com condições iniciais que não estão no tempo zero.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial dada:
com as condições iniciais:
Como as condições iniciais estão em
e não em
, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar. Vamos definir uma nova variável
, assim quando
,
. Definimos
. Isso nos permite reescrever a equação diferencial em termos de
.
Passo 3
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação original:
Com as condições iniciais transformadas:
Passo 4
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace na equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace da derivada segunda é:
E similarmente para a primeira derivada:
Aplicando a Transformada de Laplace em toda a equação:
Simplificando:
Fatorando
:
Passo 5
Resolvendo para
:
Fatorando o denominador quadrático:
Então:
Passo 6
Vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resolvendo para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Então:
Passo 7
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa para encontrar
:
Passo 8
Lembrando que
, então substituímos de volta para
:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -1.469ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“15.858ex” height=“4.07ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1149.5 7009 1799”><title>L{-1}(2(s-1)e{-2s}/(s^{2}-2s+2))</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msup”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D43F” d=“M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z”></path></g><g 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<html><head></head><body><div>Sendo a uma constante, calcule a transformada de l-aplace das funcoles: <span class="math-inline ">
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