Calcule:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a transformada inversa de Laplace de . Isso está relacionado ao conteúdo de Transformadas de Laplace, especificamente envolvendo logaritmos. Para resolver, vamos precisar usar propriedades das transformadas de Laplace e algumas técnicas de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Observamos que:
Isso nos permite separar a expressão em duas partes, facilitando a aplicação da transformada inversa de Laplace.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a transformada inversa de cada termo separadamente. Começamos com . Para isso, lembramos que a derivada de em relação a é:
Sabemos que a transformada inversa de é , pois:

Passo 4

Agora, consideramos o segundo termo, . A derivada de em relação a é:
Sabemos que a transformada inversa de é , já que:

Passo 5

Com as derivadas das funções conhecidas, podemos integrar para encontrar as transformadas inversas dos logaritmos originais. Integrando a derivada de , temos:
Integrando a derivada de , obtemos:

Resposta

Portanto, a transformada inversa de Laplace é:

Exercícios relacionados

Calcule: Use a propriedade 3 para encontrar
Calcule:
Mostre que , .
Um sistema é descrito pela seguinte equação diferencial:
Determine a função de transferência desse sistema sabendo que as condições iniciais são nulas.