Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a transformada inversa de Laplace de
. Isso está relacionado ao conteúdo de Transformadas de Laplace, especificamente envolvendo logaritmos. Para resolver, vamos precisar usar propriedades das transformadas de Laplace e algumas técnicas de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Observamos que:
Isso nos permite separar a expressão em duas partes, facilitando a aplicação da transformada inversa de Laplace.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a transformada inversa de cada termo separadamente. Começamos com
. Para isso, lembramos que a derivada de
em relação a
é:
Sabemos que a transformada inversa de
é
, pois:
Passo 4
Agora, consideramos o segundo termo,
. A derivada de
em relação a
é:
Sabemos que a transformada inversa de
é
, já que:
Passo 5
Com as derivadas das funções conhecidas, podemos integrar para encontrar as transformadas inversas dos logaritmos originais. Integrando a derivada de
, temos:
Integrando a derivada de
, obtemos:
Resposta
Portanto, a transformada inversa de Laplace é:
Exercícios relacionados
Calcule: Use a propriedade 3 para encontrar
Calcule:
Mostre que
,
.
Um sistema é descrito pela seguinte equação diferencial:
Determine a função de transferência desse sistema sabendo que as condições iniciais são nulas.