Mostre que
,
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrarmos que a transformada inversa de Laplace de
é igual a
Aqui, estamos lidando com Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta importante na resolução de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades das transformadas de Laplace, especialmente relacionadas a funções exponenciais e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as duas frações separadamente:
Essas expressões têm a forma
, onde
é uma constante e
é uma combinação de termos reais e imaginários. Sabemos que a transformada inversa de
é
para
.
Passo 3
Aplicando a transformada inversa a cada termo:
Para o primeiro termo:
E para o segundo termo:
Passo 4
Agora, vamos simplificar cada expressão. Utilizando a propriedade dos expoentes:
Portanto, as expressões se tornam:
Passo 5
Agora, somamos as duas expressões resultantes:
Lembrando que
, temos:
Resposta
Portanto,
Exercícios relacionados
Calcule:
Calcule: Use a propriedade 3 para encontrar
Um sistema é descrito pela seguinte equação diferencial:
Determine a função de transferência desse sistema sabendo que as condições iniciais são nulas.
Monte a integral abaixo utilizando novas variáveis. (Não precisa calcular a integral!!!)
Utilize coordenadas cilíndricas.
( 1,0 ponto)
( 1,0 ponto)