Mostre que L^{-1}{(r e^{j theta})/(s+a-j b) + (r e^{-j theta})/(s+a+j b)} = 2 r e^{-a t} cos(b t + theta), com t ≥ 0.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrarmos que a transformada inversa de Laplace de
é igual a
Aqui, estamos lidando com Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta importante na resolução de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades das transformadas de Laplace, especialmente relacionadas a funções exponenciais e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as duas frações separadamente:
Essas expressões têm a forma , onde é uma constante e é uma combinação de termos reais e imaginários. Sabemos que a transformada inversa de é para .

Passo 3

Aplicando a transformada inversa a cada termo:
Para o primeiro termo:
E para o segundo termo:

Passo 4

Agora, vamos simplificar cada expressão. Utilizando a propriedade dos expoentes:
Portanto, as expressões se tornam:

Passo 5

Agora, somamos as duas expressões resultantes:
Lembrando que , temos:

Resposta

Portanto,

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