Calcule

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você precisa calcular a transformada inversa de Laplace de . Isso está relacionado ao conteúdo de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como decompor a fração e aplicar as fórmulas de transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador . A gente pode completar o quadrado para facilitar a aplicação das fórmulas de transformada inversa. Completar o quadrado significa reescrever a expressão de forma que fique em uma forma mais reconhecível.

Passo 3

Vamos completar o quadrado para :
Agora, a expressão fica , o que nos ajuda a identificar os termos para a transformada inversa.

Passo 4

Agora, nossa fração inicial pode ser reescrita usando a forma completada:
Vamos separar o numerador para facilitar a aplicação das fórmulas:

Passo 5

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para cada termo separadamente. Lembrando que:
e
No nosso caso, e .

Passo 6

Aplicando as fórmulas:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:

Passo 7

Finalmente, somamos os dois resultados para obter a transformada inversa completa:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule os limites abaixo, se existirem:
r)
Dado o PVI:
Resolva o PVI utilizando transformada de Laplace e verifique se a solução encontrada satisfaz o PVI.
Calcule os limites abaixo, se existirem:
w)