Resolva os PVI abaixo utilizando transformada de Laplace com
e verifique se a solução encontrada está correta.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial:
O conteúdo envolvido aqui é a Transformada de Laplace, uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente as que possuem condições iniciais e funções por partes. Vamos precisar aplicar a transformada de Laplace na equação, resolver para
e depois aplicar a transformada inversa para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
Aplicando a transformada:
Substituindo:
Onde
é a função de Heaviside que representa a mudança na função para
.
Passo 3
Substituímos a condição inicial
:
Aqui, usamos a propriedade da transformada de Laplace para funções descontínuas, onde
.
Passo 4
Fatoramos
:
Agora, isolamos
:
Passo 5
Vamos decompor a fração em partes conhecidas para facilitar a aplicação da transformada inversa. Escrevemos:
Reconhecemos que
corresponde a uma transformada de Laplace conhecida.
Passo 6
Encontramos a transformada inversa:
Para a primeira parte:
Para a segunda parte, usamos a propriedade de atraso (n=1):
Multiplicando por 2:
Passo 7
Somando as duas partes, obtemos a solução geral:
Passo 8
Para garantir que a solução está correta, podemos verificar se ela satisfaz a equação diferencial e a condição inicial:
- Condição inicial:
✅ - Equação diferencial: Ao derivar
e substituir na equação original, verificamos que ambos os lados são iguais. ✅
Resposta
A solução do PVI é: