Resolva os PVI abaixo utilizando transformada de Laplace com t ≥ 0 e verifique se a solução encontrada está correta.
y' + 5y = { 1, 0 <= t < 2; 2, t >= 2; y(0) = 0 }

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial:
O conteúdo envolvido aqui é a Transformada de Laplace, uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente as que possuem condições iniciais e funções por partes. Vamos precisar aplicar a transformada de Laplace na equação, resolver para e depois aplicar a transformada inversa para encontrar .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
Aplicando a transformada:
Substituindo:
Onde é a função de Heaviside que representa a mudança na função para .

Passo 3

Substituímos a condição inicial :
Aqui, usamos a propriedade da transformada de Laplace para funções descontínuas, onde .

Passo 4

Fatoramos :
Agora, isolamos :

Passo 5

Vamos decompor a fração em partes conhecidas para facilitar a aplicação da transformada inversa. Escrevemos:
Reconhecemos que corresponde a uma transformada de Laplace conhecida.

Passo 6

Encontramos a transformada inversa:
Para a primeira parte:
Para a segunda parte, usamos a propriedade de atraso (n=1):
Multiplicando por 2:

Passo 7

Somando as duas partes, obtemos a solução geral:

Passo 8

Para garantir que a solução está correta, podemos verificar se ela satisfaz a equação diferencial e a condição inicial:
  • Condição inicial:
  • Equação diferencial: Ao derivar e substituir na equação original, verificamos que ambos os lados são iguais. ✅

Resposta

A solução do PVI é:

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