Calcule os limites abaixo, se existirem:
r)

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o limite de quando se aproxima de 0. Aqui, vamos usar conceitos de limites envolvendo funções trigonométricas e propriedades de logaritmos e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o mesmo que . Então, podemos reescrever a expressão original assim:

Passo 3

Agora, para facilitar o cálculo do limite, vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz que . Aplicando isso, temos:
Então, o limite que queremos calcular se transforma em:

Passo 4

Vamos agora focar no limite dentro do expoente:
Sabemos que, quando está perto de 0:
  • (usando a expansão de Taylor do logaritmo)
Substituindo essas aproximações na expressão:
Então, o limite fica:

Passo 5

Voltando à expressão original, temos:

Resposta

O limite é igual a 1.

Exercícios relacionados

Dado o PVI:
Resolva o PVI utilizando transformada de Laplace e verifique se a solução encontrada satisfaz o PVI.
Calcule os limites abaixo, se existirem:
o)
Calcule
Calcule os limites abaixo, se existirem:
w)