Calcule os limites abaixo, se existirem:
r) lim x 0(cos x)^cotg x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o limite de quando se aproxima de 0. Aqui, vamos usar conceitos de limites envolvendo funções trigonométricas e propriedades de logaritmos e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que (cos x)^cot x = (cos x)^cos xsin x é o mesmo que . Então, podemos reescrever a expressão original assim:

Passo 3

Agora, para facilitar o cálculo do limite, vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz que (cos x)^cos xsin x = e^cos xsin x cdot ln(cos x) . Aplicando isso, temos:
limx to 0 e^cos xsin x cdot ln(cos x) = e^limx to 0 cos xsin x cdot ln(cos x)
Então, o limite que queremos calcular se transforma em:

Passo 4

Vamos agora focar no limite dentro do expoente:
limx to 0 cos xsin x cdot ln(cos x)
Sabemos que, quando cos xsin x cdot ln(cos x) approx 1x cdot (-x^22) = -x2 está perto de 0:
  • limx to 0 -x2 = 0
  • (usando a expansão de Taylor do logaritmo)
Substituindo essas aproximações na expressão:
Então, o limite fica:

Passo 5

Voltando à expressão original, temos:
e^limx to 0 cos xsin x cdot ln(cos x) = e^0 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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