Calcule os limites abaixo, se existirem:
w)

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites no infinito e funções envolvendo raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar manipular expressões algébricas e entender como os termos se comportam quando cresce muito.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão. A ideia é racionalizar a diferença envolvendo a raiz quadrada. Para isso, multiplicamos e dividimos a expressão pelo conjugado dela:

Passo 3

Simplificando o numerador usando a identidade :

Passo 4

Agora, vamos dividir o numerador e o denominador por para facilitar o cálculo do limite:
À medida que , os termos , e tendem a zero. Portanto, a expressão simplifica para:

Resposta

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Calcule
Calcule os limites abaixo, se existirem:
r)
Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
;