Calcule:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a transformada inversa de Laplace da função . Isso envolve a matéria de transformadas de Laplace, que nos ajuda a passar do domínio da frequência para o tempo. Para resolver, vamos precisar usar frações parciais, que é uma técnica para quebrar frações complexas em partes mais simples que a gente sabe inverter mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. O denominador é . Vamos fatorar o polinômio quadrático:
Então, nossa fração fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor essa fração em partes mais simples usando frações parciais. Queremos escrever:
Onde , e são constantes que precisamos descobrir.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e simplificar a equação para encontrar , e .

Passo 5

Vamos escolher valores de que simplificam a equação:
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora que temos e , vamos encontrar . Podemos escolher outro valor de , por exemplo, :

Passo 7

Agora temos todas as constantes: , e . Então, a decomposição em frações parciais fica:

Passo 8

Vamos agora aplicar a transformada inversa de Laplace a cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso:

Passo 9

Agora, juntando tudo, a transformada inversa completa é:

Resposta

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Calcule: ;
Calcule:
Determine a solução do PVI abaixo:
Calcule o valor numérico das expressōes: