Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a transformada inversa de Laplace da função
. Isso envolve a matéria de transformadas de Laplace, que nos ajuda a passar do domínio da frequência para o tempo. Para resolver, vamos precisar usar frações parciais, que é uma técnica para quebrar frações complexas em partes mais simples que a gente sabe inverter mais facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão. O denominador é
. Vamos fatorar o polinômio quadrático:
Então, nossa fração fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor essa fração em partes mais simples usando frações parciais. Queremos escrever:
Onde
,
e
são constantes que precisamos descobrir.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e simplificar a equação para encontrar
,
e
.
Passo 5
Vamos escolher valores de
que simplificam a equação:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora que temos
e
, vamos encontrar
. Podemos escolher outro valor de
, por exemplo,
:
Passo 7
Agora temos todas as constantes:
,
e
. Então, a decomposição em frações parciais fica:
Passo 8
Vamos agora aplicar a transformada inversa de Laplace a cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso:
Passo 9
Agora, juntando tudo, a transformada inversa completa é:
Resposta
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Calcule:
;
Calcule:
Determine a solução do PVI abaixo:
Calcule o valor numérico das expressōes: