Determine a solução do PVI abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para resolver um problema de valor inicial (PVI) envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem. O enunciado é:
Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares, métodos de solução para equações não homogêneas e a função de Heaviside
que representa um degrau unitário a partir de
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
A solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Vamos dividir em duas partes: a parte
e a parte
.
Passo 4
Para a parte
, tentamos uma solução particular da forma:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para essa parte é:
Passo 5
Agora, para a parte
, usamos a Transformada de Laplace. A solução envolverá encontrar uma solução que só ativa a partir de
.
A Transformada de Laplace da equação completa fica:
Usando as condições iniciais
e
:
Resolvendo para
:
Fazendo a transformada inversa, obtemos a solução particular
.
Passo 6
A solução geral da equação é a soma da solução homogênea e das soluções particulares:
Substituindo as soluções encontradas:
Passo 7
Aplicamos as condições iniciais para determinar
e
:
Para :
Para
Para
na derivada:
Resposta
A solução do PVI é:
Exercícios relacionados
Calcule:
Calcule:
;
Calcule o valor numérico das expressōes:
Calcule: