Determine a solução do PVI abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para resolver um problema de valor inicial (PVI) envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem. O enunciado é:
Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares, métodos de solução para equações não homogêneas e a função de Heaviside que representa um degrau unitário a partir de .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
A solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Vamos dividir em duas partes: a parte e a parte .

Passo 4

Para a parte , tentamos uma solução particular da forma:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para essa parte é:

Passo 5

Agora, para a parte , usamos a Transformada de Laplace. A solução envolverá encontrar uma solução que só ativa a partir de .
A Transformada de Laplace da equação completa fica:
Usando as condições iniciais e :
Resolvendo para :
Fazendo a transformada inversa, obtemos a solução particular .

Passo 6

A solução geral da equação é a soma da solução homogênea e das soluções particulares:
Substituindo as soluções encontradas:
çã

Passo 7

Aplicamos as condições iniciais para determinar e :
Para :
Para na derivada:

Resposta

A solução do PVI é:

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