Calcule:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a transformada de Laplace de . Isso está dentro do conteúdo de transformadas de Laplace, uma ferramenta útil para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver, vamos precisar das fórmulas de transformadas de Laplace para funções exponenciais, trigonométricas e para o tempo multiplicando a função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da transformada de Laplace para , que é:
No nosso caso, e . Então, substituindo na fórmula:

Passo 3

Agora, precisamos considerar o termo multiplicando a função, ou seja, . Existe uma propriedade da transformada de Laplace que diz:
Isso significa que devemos derivar a transformada que encontramos no passo anterior em relação a .

Passo 4

Vamos derivar em relação a . Usando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada fica:

Passo 5

Finalmente, aplicando a propriedade que mencionamos, a transformada de Laplace de é:

Resposta

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Encontre os pontos onde é descontínua e de razões para esta descontinuidade:
Calcule:
Calcule: ;
Calcule: