Calcule: ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a Transformada de Laplace da função . Aqui, estamos trabalhando com Transformada de Laplace, uma ferramenta muito útil em engenharia e matemática para resolver equações diferenciais. Vamos precisar entender como lidar com funções multiplicadas por funções de degrau (as ) e aplicar algumas propriedades básicas da Transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na primeira parte da função: . A função é a função degrau unitário que “liga” a função a partir de . Para calcular a Transformada de Laplace dessa parte, usamos a propriedade do deslocamento no tempo:
Onde é a Transformada de Laplace de . No nosso caso, , então precisamos encontrar .
Sabemos que:
Para :
Aplicando a propriedade do deslocamento:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte da função: . Novamente, temos uma função degrau que ativa a função a partir de . Vamos aplicar a mesma propriedade de deslocamento:
Aqui, , então:
Aplicando a propriedade do deslocamento:
E como há um coeficiente de -5:

Resposta

Juntando as duas partes que calculamos, a Transformada de Laplace da função dada é:

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Calcule:
Encontre os pontos onde é descontínua e de razões para esta descontinuidade:
Calcule:
Determine a solução do PVI abaixo: