Determine a solução do PVI abaixo e interprete a sua solução de acordo com a teoria das oscilações.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e uma força externa representada pela função delta de Dirac. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Ordinárias e Teoria das Oscilações. Precisamos entender como resolver a equação diferencial e interpretar o comportamento da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial:
com as condições iniciais:
Aqui, é a função delta de Dirac, que representa um impulso aplicado no instante .
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos dividir em duas partes: a solução homogênea (sem o termo de impulso) e a solução particular devido ao impulso.
Passo 4
Primeiro, encontramos a solução homogênea resolvendo a equação:
Vamos simplificar os coeficientes:
Passo 5
Encontramos as raízes da equação característica associada:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas conjugadas:
Passo 6
A solução geral da parte homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 7
Agora, vamos considerar o termo de impulso . Esse impulso provoca uma descontinuidade na derivada de no instante . Para lidar com isso, usamos a propriedade da função delta que integra o impulso.
Passo 8
Integrando a equação diferencial em torno de , obtemos a mudança na derivada de devido ao impulso:
Isso significa que a derivada de aumenta em 10 unidades exatamente no instante .
Passo 9
A solução completa será a soma da solução homogênea para e , ajustando as constantes para satisfazer as condições iniciais e a descontinuidade na derivada.
Passo 10
Aplicando as condi��ões iniciais e na solução homogênea, encontramos:
Portanto, para :
Passo 11
Para , a solução homogênea tem a mesma forma, mas com novas constantes e . Aplicamos a continuidade de em e a descontinuidade em :
Resolvendo essas equações, determinamos e .
Passo 12
Finalmente, juntando tudo, a solução completa é:
O termo adicional após leva em conta o impulso aplicado.
Resposta
A solução do PVI é dada por
Essa solução mostra que o sistema oscila de forma amortecida antes do impulso em e, após o impulso, há uma oscilação adicional iniciada naquele instante, mantendo o comportamento amortecido conforme a teoria das oscilações.