Use transformada de Laplace para resolver os PVI. , quando ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a Transformada de Laplace. O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial com as condições iniciais e , onde é uma função que muda de valor em certos intervalos de . Para isso, vamos precisar aplicar as propriedades da Transformada de Laplace, especialmente como ela lida com derivadas e funções por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de é e a transformada de é simplesmente . Então, transformando a equação:
Passo 3
Substituímos as condições iniciais e na equação:
Passo 4
Isolamos :
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace de . Dado que é uma função por partes, definida da seguinte forma:
Podemos expressar usando a função degrau unitário :
Passo 6
Aplicamos a Transformada de Laplace na expressão de :
Sabemos que , então:
Passo 7
Substituímos na expressão de :
Passo 8
Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar . Lembrando que:
Para os termos com exponenciais, usamos o teorema do deslocamento: