Use transformada de Laplace para resolver os PVI.
y'' + y = r(t), y(0) = 0, y'(0) = 1, quando r(t) = { 0, 0 <= t < pi; 1, pi <= t < 2 pi; 0, t >= 2 pi };

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a Transformada de Laplace. O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial com as condições iniciais e , onde é uma função que muda de valor em certos intervalos de . Para isso, vamos precisar aplicar as propriedades da Transformada de Laplace, especialmente como ela lida com derivadas e funções por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de é e a transformada de é simplesmente . Então, transformando a equação:

Passo 3

Substituímos as condições iniciais e na equação:

Passo 4

Isolamos :

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace de . Dado que é uma função por partes, definida da seguinte forma:
Podemos expressar usando a função degrau unitário :

Passo 6

Aplicamos a Transformada de Laplace na expressão de :
Sabemos que , então:

Passo 7

Substituímos na expressão de :

Passo 8

Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar . Lembrando que:
Para os termos com exponenciais, usamos o teorema do deslocamento:
Aplicando isso para e :

Resposta

A solução do PVI é:

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