Calcule lang<= u, vrang<=, onde lang<=, rang<= é o produto interno em V dado abaixo:
u=f:[0, pi] R, v=g:[0, pi] R dados por f(t)=t e g(t)=cos (t) e
lang<= h1, h2rang<==integral0^pi h1(t) h2(t) d t
em C([0, pi], R).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o produto interno entre duas funções lang<= h1, h2 rang<= = integral0^pi h1(t) h2(t) , dt e no espaço de funções contínuas . Aqui, o produto interno é definido por uma integral:
As funções dadas são:
Para resolver, precisamos entender como calcular esse produto interno usando a definição de integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o que precisamos calcular usando as funções lang<= u, v rang<= = integral0^pi u(t) cdot v(t) , dt = integral0^pi t cdot cos(t) , dt e :
Então, nossa meta é resolver essa integral: .

Passo 3

Para resolver a integral integral u , dv = uv - integral v , du , vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Geralmente, escolhemos como a função que fica mais simples ao derivar.
Vamos escolher:
  •  ⇒ 
  •  ⇒ 

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral t cos(t) , dt = t sin(t) - integral sin(t) , dt
Agora, precisamos resolver a integral .

Passo 5

A integral de integral sin(t) , dt = -cos(t) + C é:
integral t cos(t) , dt = t sin(t) - (-cos(t)) + C = t sin(t) + cos(t) + C
Substituindo de volta na expressão anterior:

Passo 6

Agora, voltamos à nossa integral definida de lang<= u, v rang<= = integral0^pi t cos(t) , dt = [ t sin(t) + cos(t) ]0^pi a :
Isso significa que precisamos avaliar a expressão nos limites e e depois subtrair os resultados.

Passo 7

Vamos calcular em pi sin(pi) + cos(pi) = pi cdot 0 + (-1) = -1 :
0 cdot sin(0) + cos(0) = 0 + 1 = 1
E em -1 - 1 = -2 :
Agora, subtraímos os dois resultados:

Resposta

O produto interno é igual a .

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