Calcule
, onde
,
é o produto interno em
dado abaixo:
dados por
e
em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o produto interno entre duas funções
e
no espaço de funções contínuas
. Aqui, o produto interno é definido por uma integral:
As funções dadas são:
Para resolver, precisamos entender como calcular esse produto interno usando a definição de integral.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o que precisamos calcular usando as funções
e
:
Então, nossa meta é resolver essa integral:
.
Passo 3
Para resolver a integral
, vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
. Geralmente, escolhemos
como a função que fica mais simples ao derivar.
Vamos escolher:
-
⇒ -
⇒
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, precisamos resolver a integral
.
Passo 5
A integral de
é:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Passo 6
Agora, voltamos à nossa integral definida de
a
:
Isso significa que precisamos avaliar a expressão
nos limites
e
e depois subtrair os resultados.
Passo 7
Vamos calcular em
:
E em
:
Agora, subtraímos os dois resultados:
Resposta
O produto interno
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
,
é o produto interno em
dado abaixo:
,
;
Seja
. Então calcule
, onde
(b) .
(b)
Verifique se o conjunto
é ortogonal no produto interno
,
, onde
;
Verifique se o conjunto
é ortogonal no produto interno
,
, onde
,