Calcule , onde , é o produto interno em dado abaixo:
dados por e
em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o produto interno entre duas funções e no espaço de funções contínuas . Aqui, o produto interno é definido por uma integral:
As funções dadas são:
Para resolver, precisamos entender como calcular esse produto interno usando a definição de integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o que precisamos calcular usando as funções e :
Então, nossa meta é resolver essa integral: .

Passo 3

Para resolver a integral , vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Geralmente, escolhemos como a função que fica mais simples ao derivar.
Vamos escolher:
  •  ⇒ 
  •  ⇒ 

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, precisamos resolver a integral .

Passo 5

A integral de é:
Substituindo de volta na expressão anterior:

Passo 6

Agora, voltamos à nossa integral definida de a :
Isso significa que precisamos avaliar a expressão nos limites e e depois subtrair os resultados.

Passo 7

Vamos calcular em :
E em :
Agora, subtraímos os dois resultados:

Resposta

O produto interno é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule , onde , é o produto interno em dado abaixo:
, é;
Seja . Então calcule , onde
(b) .
Verifique se o conjunto é ortogonal no produto interno ,
, onde ;
Verifique se o conjunto é ortogonal no produto interno ,
, onde , é