Seja V=F^2. Então calcule [(6,2)]alpha e[(x, y)]alpha, onde
(b) alpha=(2,0),(0,-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com mudança de base em álgebra linear. O que isso significa? Basicamente, queremos expressar um vetor numa nova base, que no caso é o conjunto α = { (2, 0), (0, −1) }. Para fazer isso, vamos precisar descobrir quais combinações lineares dos vetores da base α resultam no vetor que queremos representar. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a representação do vetor a cdot (2, 0) + b cdot (0, -1) = (6, 2) na base α. Isso quer dizer que queremos encontrar dois números, digamos e , tais que:
Vamos quebrar isso em componentes para resolver:
  • Componente x:
    Simplificando:
    Então,
  • Componente y:
    Simplificando:
    Então,
Portanto, os coeficientes são e .

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para o vetor a cdot (2, 0) + b cdot (0, -1) = (x, y) . Queremos encontrar e tais que:
Dividindo em componentes:
  • Componente x:
    Então,
  • Componente y:
    Então,
Assim, os coeficientes são e .

Resposta

A representação dos vetores na base α é:
[(6, 2)]alpha = (3,, -2) e [(x, y)]alpha = ( x2, -y )

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