Verifique se o conjunto
é ortogonal no produto interno
,
, onde
;
Passo 1
Beleza, então o enunciado está pedindo para ver se o conjunto
é ortogonal em relação ao produto interno definido por
. Vamos precisar entender o que é um conjunto ortogonal e como calcular esse produto interno para os elementos do conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto ser ortogonal. Em termos simples, os vetores (ou funções, nesse caso) são ortogonais se o produto interno entre eles for zero. Então, se calcularmos
e der zero, o conjunto é ortogonal.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto interno
:
Para resolver essa integral, podemos usar a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de
de
a
:
Avaliar os limites:
Sabemos que
, então:
Resposta
Como
, o conjunto
é ortogonal no produto interno definido.
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Calcule
, onde
,
é o produto interno em
dado abaixo:
dados por
e
em
.
Calcule
, onde
,
é o produto interno em
dado abaixo:
,
;
Verifique se o conjunto
é ortogonal no produto interno
,
, onde
,