Verifique se o conjunto é ortogonal no produto interno ,
, onde ;

Passo 1

Beleza, então o enunciado está pedindo para ver se o conjunto é ortogonal em relação ao produto interno definido por . Vamos precisar entender o que é um conjunto ortogonal e como calcular esse produto interno para os elementos do conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto ser ortogonal. Em termos simples, os vetores (ou funções, nesse caso) são ortogonais se o produto interno entre eles for zero. Então, se calcularmos e der zero, o conjunto é ortogonal.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto interno :
Para resolver essa integral, podemos usar a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de de a :
Avaliar os limites:
Sabemos que , então:

Resposta

Como , o conjunto é ortogonal no produto interno definido.

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Calcule , onde , é o produto interno em dado abaixo:
dados por e
em .
Calcule , onde , é o produto interno em dado abaixo:
, é;
Verifique se o conjunto é ortogonal no produto interno ,
, onde , é