Verifique se o conjunto S subset V é ortogonal no produto interno lang<=, rang<= abaixo:
S=cos (t), sin (t), onde lang<= h1, h2rang<==integral-pi^pi h1(t) h2(t) d t;

Passo 1

Beleza, então o enunciado está pedindo para ver se o conjunto é ortogonal em relação ao produto interno definido por . Vamos precisar entender o que é um conjunto ortogonal e como calcular esse produto interno para os elementos do conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto ser ortogonal. Em termos simples, os vetores (ou funções, nesse caso) são ortogonais se o produto interno entre eles for zero. Então, se calcularmos e der zero, o conjunto é ortogonal.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto interno lang<= cos(t), sin(t) rang<= = integral-pi^pi cos(t) sin(t) , dt :
cos(t) sin(t) = 12 sin(2t)
Para resolver essa integral, podemos usar a identidade trigonométrica:
integral-pi^pi cos(t) sin(t) , dt = 12 integral-pi^pi sin(2t) , dt
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de 12 integral-pi^pi sin(2t) , dt = 12 [ -12 cos(2t) ]-pi^pi de = 12 ( -12 cos(2pi) + 12 cos(-2pi) ) a = 12 ( -12 cdot 1 + 12 cdot 1 ) = 12 ( -12 + 12 ) = 12 cdot 0 = 0 :
Avaliar os limites:
Sabemos que , então:

Resposta

Como , o conjunto é ortogonal no produto interno definido.

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