Verifique se o conjunto S subset V é ortogonal no produto interno lang<=, rang<= abaixo:
S=(1,1,-1),(2,0,2),(0,1,0), onde lang<=, rang<= é o produto interno usualé

Passo 1

Beleza, vamos verificar se o conjunto é ortogonal no espaço vetorial usando o produto interno usual. Isso significa que a gente precisa checar se, ao calcular o produto interno entre cada par de vetores do conjunto, o resultado é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto interno usual. No espaço tridimensional lang<= u, v rang<= = u1v1 + u2v2 + u3v3 , o produto interno entre dois vetores e é dado por:
Se esse produto der zero para todo par de vetores diferentes no conjunto, então o conjunto é ortogonal.

Passo 3

Vamos calcular o produto interno entre o primeiro vetor lang<= (1,1,-1), (2,0,2) rang<= = (1)(2) + (1)(0) + (-1)(2) = 2 + 0 - 2 = 0 e o segundo vetor :
Como deu zero, até aqui está tudo certo.

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto interno entre o primeiro vetor lang<= (1,1,-1), (0,1,0) rang<= = (1)(0) + (1)(1) + (-1)(0) = 0 + 1 + 0 = 1 e o terceiro vetor :
Esse resultado não é zero, o que já mostra que os vetores não são ortogonais entre si.

Passo 5

Para finalizar, podemos também calcular o produto interno entre o segundo vetor lang<= (2,0,2), (0,1,0) rang<= = (2)(0) + (0)(1) + (2)(0) = 0 + 0 + 0 = 0 e o terceiro vetor :
Esse produto deu zero, mas já que encontramos um par que não é ortogonal, o conjunto não é ortogonal.

Resposta

O conjunto não é ortogonal no produto interno usual.

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