Calcule L{f(t)} usando a definição:
f(t) = e^(-t) sent

Passo 1

Então, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a Transformada de Laplace de uma função . Isso está relacionado à matéria de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Para resolver esse problema, vamos precisar usar a definição da Transformada de Laplace e algumas propriedades das funções exponenciais e seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função é dada por:
Aqui, é uma variável complexa, e é a variável de tempo.

Passo 3

Agora, vamos substituir a função na definição da Transformada de Laplace:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que . Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral:
Para isso, vamos usar uma fórmula padrão da Transformada de Laplace:
Mas, no nosso caso, temos um termo , que ajusta a frequência. Então, a fórmula se adapta para:

Passo 6

Comparando com a nossa função, temos e . Substituindo esses valores na fórmula, temos:

Resposta

A Transformada de Laplace de é:

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Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
b) sumk=1^infty(12^k-12^k+1)
Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
а) sumk=1^infty(23)^k+2
Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
c) sumk=1^infty(5^3 k cdot 7^1-k)
Use o teste da razão (discutido junto as séries de Maclaurin e Taylor) para determinar se a série converge ou diverge.
a) sumk=1^infty 3^kk!