Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série converge ou não. Se convergir, a gente também precisa achar a soma dela. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra para simplificar a série e depois aplicar o teste da série geométrica, que é uma ferramenta bacana para verificar a convergência de séries com termos que formam uma progressão geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: . Podemos reescrever como e como . Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora nossa série fica:
Podemos fatorar o 7 para fora da soma:
Essa nova série é uma série geométrica, onde cada termo é .
Passo 4
Para verificar a convergência de uma série geométrica , a série converge se o valor absoluto de for menor que 1, ou seja, . Se , a série diverge.
Passo 5
No nosso caso, . Vamos calcular o valor absoluto:
Como , isso significa que a série geométrica não converge.
Passo 6
Já que a série geométrica diverge, a série original também diverge. Portanto, a série não converge e não tem uma soma finita.