Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
c) sumk=1^infty(5^3 k cdot 7^1-k)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série converge ou não. Se convergir, a gente também precisa achar a soma dela. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra para simplificar a série e depois aplicar o teste da série geométrica, que é uma ferramenta bacana para verificar a convergência de séries com termos que formam uma progressão geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: 5^3k cdot 7^1-k = 125^k cdot 77^k = 7 cdot (1257)^k . Podemos reescrever como e como . Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora nossa série fica:
sumk=1^infty 7 cdot (1257)^k
Podemos fatorar o 7 para fora da soma:
7 cdot sumk=1^infty (1257)^k
Essa nova série é uma série geométrica, onde cada termo é .

Passo 4

Para verificar a convergência de uma série geométrica , a série converge se o valor absoluto de for menor que 1, ou seja, . Se , a série diverge.

Passo 5

No nosso caso, |1257| approx 17,86 . Vamos calcular o valor absoluto:
Como , isso significa que a série geométrica não converge.

Passo 6

Já que a série geométrica diverge, a série original também diverge. Portanto, a série não converge e não tem uma soma finita.

Resposta

A série não converge.

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Calcule L{f(t)} usando a definição:
f(t) = e^(-t) sent
Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
b) sumk=1^infty(12^k-12^k+1)
Use o teste da razão (discutido junto as séries de Maclaurin e Taylor) para determinar se a série converge ou diverge.
a) sumk=1^infty 3^kk!
Use o teste da razão (discutido junto as séries de Maclaurin e Taylor) para determinar se a série converge ou diverge.
b) sumk=1^infty 4^kk^2