Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
а)
а)
Passo 1
Então, a gente tem a série
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série converge e, se sim, qual é a soma dela. Para resolver isso, vamos usar o que sabemos sobre séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco essa expressão para facilitar o trabalho. Observe que
pode ser reescrito como
. Então, nossa série fica assim:
Passo 3
Agora, vamos focar na parte
. Essa é uma série geométrica com a razão
. Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão
for menor que 1. Aqui,
, então essa série converge.
Passo 4
Para encontrar a soma de uma série geométrica que começa em
, usamos a fórmula:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, voltando à nossa expressão original:
Resposta
A série
converge e a sua soma é
.
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Encontre o valor exato das quatro primeiras somas parciais, encontre a forma fechada para a enésima soma parcial e determine se a série converge. Se ela convergir, determine sua soma.
b)
b)
Calcule os seguintes limites:
g)
g)
Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
b)
b)
Calcule
usando a definição:
sent