Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
а) sumk=1^infty(23)^k+2

Passo 1

Então, a gente tem a série . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série converge e, se sim, qual é a soma dela. Para resolver isso, vamos usar o que sabemos sobre séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco essa expressão para facilitar o trabalho. Observe que sumk=1^infty(23)^k+2 = (23)^2 sumk=1^infty(23)^k pode ser reescrito como . Então, nossa série fica assim:

Passo 3

Agora, vamos focar na parte . Essa é uma série geométrica com a razão . Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1. Aqui, , então essa série converge.

Passo 4

Para encontrar a soma de uma série geométrica que começa em S = r1 - r , usamos a fórmula:
S = 231 - 23 = 2313 = 2
Substituindo :

Passo 5

Agora, voltando à nossa expressão original:
(23)^2 cdot S = (23)^2 cdot 2 = 49 cdot 2 = 89

Resposta

A série converge e a sua soma é .

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