Use o teste da razão (discutido junto as séries de Maclaurin e Taylor) para determinar se a série converge ou diverge.
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teste da razão para descobrir se a série converge ou diverge. Então, vamos precisar entender como funciona esse teste e como aplicá-lo nessa série específica.
Passo 2
Primeiro, vamos falar rapidinho sobre o teste da razão. Esse teste é uma ferramenta que ajuda a determinar a convergência de séries infinitas. A ideia é calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não dá resposta e precisamos usar outro método.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o teste da razão na nossa série. Vamos chamar o termo geral da série de , então:
Queremos encontrar o limite de quando tende ao infinito.
Passo 4
Calculando a razão entre o termo ak+1ak = 3^k+1(k+1)!3^kk! = 3^k+1 cdot k!3^k cdot (k+1)! = 3 cdot 3^k cdot k!3^k cdot (k+1) cdot k! = 3k+1 e :
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando limk to infty 3k+1 = 0 vai para o infinito: