Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
b)
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente determinar se a série converge e, se sim, encontrar a sua soma. Vamos usar conhecimentos sobre séries infinitas e séries geométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Observe que:
Então, a série original fica:
Passo 3
Agora, reconhecemos que essa é uma série geométrica. Uma série geométrica geral é da forma , onde é a razão. Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto de for menor que 1, ou seja, se .
Passo 4
No nosso caso, a razão é . Como , a série converge. A soma de uma série geométrica que converge é dada pela fórmula: