Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
b) sumk=1^infty(12^k-12^k+1)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente determinar se a série sumk=1^infty(12^k-12^k+1) converge e, se sim, encontrar a sua soma. Vamos usar conhecimentos sobre séries infinitas e séries geométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Observe que:
12^k - 12^k+1 = 12^k (1 - 12) = 12^k cdot 12 = 12^k+1
Então, a série original fica:
sumk=1^infty 12^k+1

Passo 3

Agora, reconhecemos que essa é uma série geométrica. Uma série geométrica geral é da forma sumk=1^infty r^k, onde r é a razão. Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto de r for menor que 1, ou seja, se |r| < 1.

Passo 4

No nosso caso, a razão r é 12. Como |12| = 12 < 1, a série converge. A soma de uma série geométrica que converge é dada pela fórmula:
sumk=1^infty r^k = r1 - r
Aplicando essa fórmula à nossa série:
sumk=1^infty 12^k+1 = 12^1+11 - 12 = 1412 = 12

Resposta

A série converge e sua soma é 12.

Exercícios relacionados

Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
а) sumk=1^infty(23)^k+2
Encontre o valor exato das quatro primeiras somas parciais, encontre a forma fechada para a enésima soma parcial e determine se a série converge. Se ela convergir, determine sua soma.
b) sumk=1^infty(4)^k-1
Calcule L{f(t)} usando a definição:
f(t) = e^(-t) sent
Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
c) sumk=1^infty(5^3 k cdot 7^1-k)