Calcule: lim (x, y) (1,1) (x-1)^43-(y-1)^43(x-1)^23+(y-1)^23

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando (x-1)^43 - (y-1)^43(x-1)^23 + (y-1)^23 se aproxima de da expressão:
Para resolver isso, vamos precisar usar regras de limites e manipulação de expressões com potências fracionárias.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão. Observamos que no numerador temos a^4 - b^4a^2 + b^2 e no denominador . Para facilitar, vamos chamar e . Assim, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fatoração de a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) . Sabemos que:
(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)a^2 + b^2 = a^2 - b^2
Substituindo de volta na nossa expressão:

Passo 4

Agora, substituímos a^2 - b^2 = ((x-1)^13)^2 - ((y-1)^13)^2 = (x-1)^23 - (y-1)^23 e de volta para termos em e :

Passo 5

Para encontrar o limite, vamos analisar cada termo separadamente quando lim(x, y) to (1,1) (x-1)^23 = 0 :
lim(x, y) to (1,1) (y-1)^23 = 0
e
lim(x, y) to (1,1) [(x-1)^23 - (y-1)^23] = 0 - 0 = 0
Então, temos:

Resposta

O limite é igual a .

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